1、11独立性检验1.了解事件独立的概念2.理解独立性检验的思想和方法3.会利用22列联表解决一些实际问题1独立事件(1)独立事件的定义对于两个事件A、B，如果有P(AB)P(A)P(B)，就称事件A与B相互独立，简称A与B独立(2)如果A、B相互独立，则与B、A与、与相互独立222列联表的独立性检验(1)22列联表对于两个事件A、B，用下表表示抽样数据：B合计An11n12n1n21n22n2合计n1n2n表中：n1n11n21，n2n12n22，n1n11n12，n2n21n22，nn11n21n12n22形如此表的表格为22列联表(2)2统计量根据22列联表给定的数据引入2(读作“卡方”)统
2、计量它的表达式是：2(3)独立性检验思想用H0表示事件A与B独立的判定式，即H0：P(AB)P(A)P(B)，称H0为统计假设用2与其临界值3.841与6.635的大小关系来决定是否拒绝原来的统计假设H0，如下表：大小比较结论23.841事件A与B是无关的23.841有95%的把握说事件A与B有关26.635有99%的把握说事件A与B有关1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)列联表中的数据是两个分类变量的频数()(2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响()(3)2的值越大，两个事件的相关性就越大()答案：(1)(2)(3)2下面是22列联表y1y2合计x1332154x2a13
3、46合计b34则表中a，b处的值应为()A33，66B25，50C32，67 D43，56答案：A3若事件A、B相互独立，且P(AB)，P(A)，则P(B)_.答案：独立事件概率的求法甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6.计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率【解】设A“甲投篮一次，投中”，B“乙投篮一次，投中”(1)由设得AB“两人各投篮一次，都投中”，由题意知，事件A与B相互独立，所以P(AB)P(A)P(B)0.60.60.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(
4、事件A发生，)另一种是甲未投中，乙投中(事件B发生)根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A与B互斥，并且A与，与B各自相互独立，因而所求概率为PP(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.6(10.6)(10.6)0.60.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P( )P()P()(10.6)(10.6)0.16.因此，至少有一人投中的概率为P(AB)1P( )10.160.84.若本例中条件不变，则“至多有一人投中”的概率是多少？解：事件“至多有一人投中”包括三种情况，一种是“甲、乙都未投中”(事件发生)，一种
5、是“甲投中，乙未投中”(事件A 发生)，一种是“甲未投中，乙投中”(事件B发生)，由题意，这三种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即，A与 B两两互斥，且与，A与，与B各自相互独立，因此“至多有一人投中”的概率为P()P(A )P( B)P()P()P(A)P()P()P(B)0.64.(1)在求概率问题中，经常遇到“恰有”“至少”“至多”等术语，在此一定要深刻理解其含义，分清它的各种情况，以免计算错误(2)对于含有“至少”“至多”的概率问题，我们通常转化为求其对立事件的概率，即利用公式P(A)1P()达到求解的目的 已知事件A与B相互独立，P(A)P1，P(B)P2，则P()的值为()AP1
6、P2BP1P2C1P1P2 D(1P1)(1P2)解析：选D若A与B相互独立，则与也相互独立，且P()1P(A)，P()1P(B)故选D 独立性检验的应用在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动(1)根据以上数据建立一个22列联表；(2)判断性别与休闲方式是否有关系【解】(1)列表如下：休闲方式性别看电视运动合计女432770男213354合计6460124(2)由上表可得26.201.因为23.841，所以有95%的把握
7、认为性别与休闲方式有关系独立性检验方法的应用，关键是确定两个变量并列出22列联表，只要完成了这两步，下面的计算和判断就迎刃而解了 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人能否有95%的把握认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？解：根据题目所给的数据得到如下列联表：理科文科合计有兴趣13873211无兴趣9852150合计236125361根据列联表中数据由公式计算得21.871104.因为1.8711043.841，所以没有95%的把握认为“
8、学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”独立性检验的综合应用同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：(1)求两颗骰子都出现2点的概率；(2)若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？【解】(1)每颗骰子出现2点的概率都为，由相互独立事件同时发生的概率公式得两颗骰子都出现2点的概率为.(2)依题意，列22列联表如下：出现2点出现其他点合计甲骰子20160180乙骰子30150180合计50310360由公式计算得22.323.因为2.3236.635，所以有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病1
9、在求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率的问题，如果从正面解决这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程烦琐，但这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，进而求得原来事件的概率2独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成22列联表(2)根据公式2，计算2的值(3)比较2与临界值的大小关系作统计推断对22列联表中n11，n12，n21，n22的位置务必正确填写1甲、乙二人分别对一目标射击一次记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B、与B、A与、与中，满足相互独立的有()A1对B2对C3对 D4对解
10、析：选D易知A与B是相互独立事件，从而A与，与B，与都相互独立2根据下表：不看电视看电视合计男3785122女35143178合计72228300计算2_解析：24.514.答案：4.5143某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有_的把握认为糖尿病患者与遗传有关系解析：列出22列联表：发病不发病合计阳性家族史1693109阴性家族史17240257合计33333366所以随机变量2的值为：26.0673.841.所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关答案：95%A基础达标1事件A、B
11、相互独立，下列四个式子P(AB)P(A)P(B)；P(B)P()P(B)；P(A)P(A)P()；P( )P()P()其中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选D经验证都正确2对于分类变量A与B的统计量2，下列说法正确的是()A2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小B2越大，说明“A与B无关”的程度越大C2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小D2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小解析：选C由独立性检验的定义及2的意义可知C正确3下面是一个22列联表：y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a，b的值分别为()A94，96 B52，50C52，54 D54，52
12、解析：选C因为a2173，所以a732152.又因为a2b，所以b52254.4甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有一人解决这个问题的概率是()AP1P2 BP1(1P2)P2(1P1)C1P1P2 D1(1P1)(1P2)解析：选B设甲、乙解决这个问题分别为事件A、B，则P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)，即P1(1P2)(1P1)P2.5在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是()A100个吸烟者中至少有99个
13、患有肺癌B1个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌C在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：选D有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，但吸烟的人不一定会患肺癌，可信度是就整体而言的，对具体的样本不具有准确的判断性6为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽取了301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空经常头晕很少头晕合计长发35121短发37143合计72空格中的数据应分别为_；_；_；_解析：题表中最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出和；而题表中最下面的总计是对应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得.答案：86180229301
14、7.如果元件A、B、C正常工作的概率分别为P1、P2、P3，则如图所示的线路，正常工作的概率为_解析：A正常工作，B、C至少有一个元件正常工作即可答案：P1(P2P3P2P3)8调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜欢文科还是理科列联表喜欢文科喜欢理科合计男生82836女生201636合计284472估计中学生的性别和喜欢文科还是理科_关系(填“有”或“没有”)解析：28.4166.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系答案：有9某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在每个交通岗处遇到红灯的事件是
15、相互独立的，并且概率都是0.6.(1)求两次都遇到红灯的概率；(2)求至少遇到一次红灯的概率解：(1)第一次遇到红灯的概率为0.6，第二次遇到红灯的概率也为0.6，且两次遇到红灯是相互独立的，所以两次都遇到红灯的概率P10.60.60.36.(2)“至少遇到一次红灯”的对立事件为“两次均没有遇到红灯”，所以至少遇到一次红灯的概率P21(10.6)(10.6)10.40.40.84.10在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶请用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？解：根据题目所给的数据得到如下22列
16、联表：患心脏病患其他病合计秃顶214175389不秃顶4515971 048合计6657721 437根据表中的数据，得到：216.3736.635.所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”B能力提升11调查某桑场采桑员和辅助工中患桑毛虫皮炎病情况结果如下表：采桑不采桑合计患者人数181230健康人数57883合计2390113则患桑毛虫皮炎病与采桑有关系的把握大约有()A90% B95%C99% D无充分依据解析：选Cn1118，n1212，n215，n2278，所以n1n11n1230，n2n21n2283，n1n11n2123，n2n12n2290，n113.所以239.66.635
17、.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系12某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：焦虑说谎懒惰合计女生5101530男生20105080合计252065110则在焦虑、说谎、懒惰这三种心理障碍中与性别关系最大的是_解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量，由表中数据列出焦虑是否与性别有关的22列联表：焦虑不焦虑合计女生52530男生206080合计2585110可得0.8633.841，同理，6.3663.841，1.4103.841.因此，说谎与性别关系最大答案：说谎13某电视台联合报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：赞同反对合计
18、男198217415女476109585合计6743261 000根据表中数据，是否有99%的把握认为对这一问题的看法与性别有关系？解：假设对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别无关，由列联表中的数据，可以得到2125.1616.635，所以有99%的把握认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关14(选做题)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积60，
19、65)65，70)70，75)75，80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积60，65)65，70)70，75)75，80)80，85)频数1025203015完成下面22列联表，能否有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”？表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物An11n12注射药物Bn21n22合计n解：列出22列联表疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物An1170n1230100注射药物Bn2135n2265100合计10595n200224.56，由于26.635，所以有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”