1、2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知复数zi1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）A1B2CD2函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D4x+y203已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（）ABCD4用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是（）A假设a，b，c都是有理数B假设a
2、，b，c至少有一个是有理数C假设a，b，c不都是无理数D假设a，b，c至少有一个不是无理数5下列四个命题正确的是（）线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；线性回归方程恒过样本点中心（，）ABCD6（ex+2x）dx（）A1Be1CeDe+17已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）3xf（e）+lnx，则f（e）（）A2eBCD2e8已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.16，则P（24）（）A0.34B0.68C0.5D0.7
3、9“中国诗词大会”亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定将将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒望岳相邻，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，则后六场开场诗词的排法有（）A144种B48种C36种D72种10已知函数f（x）x3+ax2x1在（，+）上是单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A（，）（，+）B（，）C（，+）D，11用数学归纳法证明“，nN”，则当nk+1时，应当在nk时对应的等式的左边加上（）A（k3+1）+（k3+2）
4、+（k+1）3Bk3+1C（k+1）3D12对任意xR，函数yf（x）的导函数都存在，若f（x）f（x）0恒成立，且a0，则下列说法正确的是（）Af（a）f（0）Bf（a）f（0）Cf（a）eaf（0）Df（a）eaf（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：23，33，43，.以此类推，若m3的“分裂数”中有一个是67，则m的值为 14在（2x）6的展开式中的系数为 15如图是函数f（x）的导函数f（x）的图象，现给出如下结论：f（x）在（3，1）是增函数；x4是f（x）的极小值点；f（x）在（1，2）上是增函数，在
5、（2，4）上是减函数；x1一定是f（x）的零点其中正确的结论是 16辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有 种三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）x2+ax与g（x）ln（x+1）在（0，0）处有公共的切线（1）求a的值；（2）求函数h（x）f（x）g（x）（x1）的极值18在心理学研究中，常采用
6、对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示（）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率（）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX19一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别是0.1，0.2，0.4，各部件的状态相互独立（
7、1）求设备在一天的运转中，部件2，3中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望20第五代移动通信技术是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸“5G”的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接，某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100男性人数235131575女性人数15969542（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较
8、了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生人数为X，求X的数学期望和方差附：K2（na+b+c+d）临界值表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821已知函数f（x）ex+tx（e为自然对
9、数的底数）（）当te时，求函数f（x）的单调区间；（）若对于任意x（0，2，不等式f（x）0恒成立，求实数t的取值范围22已知函数f（x）ax3+bx22x，且当x1时，函数f（x）取得极值为（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）6xm在2，0上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知复数zi1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）A1B2CD解：zi1+i，|zi|1+i|，即|z|i|1+i|，即|z|1，即|z|，故选：C2函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D
10、4x+y20解：f（x）x3+xf（x）3x2+1容易求出切线的斜率为4当x1时，f（x）2利用点斜式，求出切线方程为4xy20故选：B3已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（）ABCD解：设事件A表示“第一次抽到语文题”，事件B表示“第二次抽取数学题”，则P（A），P（AB），在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为：P（B|A）故选：B4用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是（）A假设a，b，c都是有理数B假设a
11、，b，c至少有一个是有理数C假设a，b，c不都是无理数D假设a，b，c至少有一个不是无理数解：“a，b，c至少有一个是无理数”的对立面是“a，b，c都是有理数”用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是：假设a，b，c都是有理数故选：A5下列四个命题正确的是（）线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；线性回归方程恒过样本点中心（，）ABCD解：相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的线性相
12、关性越强，相关系数r的绝对值越接近0，表示两个变量的线性相关性越弱，故命题错误，显然，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，命题正确，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故命题正确，显然线性回归方程恒过样本点中心（，），命题正确故选：B6（ex+2x）dx（）A1Be1CeDe+1解：（ex+2x）dx（ex+x2）e；故选：C7已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）3xf（e）+lnx，则f（e）（）A2eBCD2e解：f（x）3f（e）+，f（e）3f（e）+，解得：f（e）故选：B8已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6
13、）0.16，则P（24）（）A0.34B0.68C0.5D0.7解：随机变量服从正态分布N（，2），P（2）P（6）0.16，4，P（24）0.5P（2）0.34故选：A9“中国诗词大会”亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定将将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒望岳相邻，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，则后六场开场诗词的排法有（）A144种B48种C36种D72种解：根据题意，分2步分析：，将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定的两首
14、诗词进行全排列，共有A336种排法，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在4个空里，有A4212种排法，则后六场的排法有61272（种），故选：D10已知函数f（x）x3+ax2x1在（，+）上是单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A（，）（，+）B（，）C（，+）D，解：根据题意，函数f（x）x3+ax2x1，其导数f（x）3x2+2ax1，若函数f（x）x3+ax2x1在（，+）上是单调递减函数，则f（x）3x2+2ax10在R上恒成立，则必有（2a）2120，即a23解可得：a，即a的取值范围为，；故选：D11用数学归纳法证明“，nN”，则当nk+1时，应当在nk时对应的等式的左边加上（
15、）A（k3+1）+（k3+2）+（k+1）3Bk3+1C（k+1）3D解：当nk时，等式左端1+2+k3，当nk+1时，等式左端1+2+k3+（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+（k+1）3，增加了2k+1项即为（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+（k+1）3故选：A12对任意xR，函数yf（x）的导函数都存在，若f（x）f（x）0恒成立，且a0，则下列说法正确的是（）Af（a）f（0）Bf（a）f（0）Cf（a）eaf（0）Df（a）eaf（0）解：设g（x），则g（x）0，故g（x）在R上递增，所以g（a）g（0），所以，所以f（a）eaf（0），故选：C二、填空题（本大题共4
16、小题，每小题5分，共20分）13对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：23，33，43，.以此类推，若m3的“分裂数”中有一个是67，则m的值为 8解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3a273422，a4a3137623，amam12（m1），以上m2个式子相加可得ama2（m+1）（m2），ama2+（m+1）（m2）m2m+1，当m8时，am57，即是83的“分裂”数中的第一个，当m9时，am73，即73是93的“分裂”数中的第一个，故67应该是83的“分裂”数中的一个，故答案为：814在（2x）6的展开式中
17、的系数为60解：展开式的通项公式为Tk+1C（2x）6k（）kC26k（1）kx62k，由62k2得2k8，得k4，则的系数为22（1）460，故答案为：6015如图是函数f（x）的导函数f（x）的图象，现给出如下结论：f（x）在（3，1）是增函数；x4是f（x）的极小值点；f（x）在（1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；x1一定是f（x）的零点其中正确的结论是 解：由图象，得x1时，f（x）0，1x2时，f（x）0，2x4时，f（x）0，x4时，f（x）0，函数f（x）在（，1），（2，4）递减，在（1，2），（4，+）递增，在x1，4处，函数取得极小值，在x2处，函数取得极大值，x
18、1不一定是f（x）的零点，故正确，故答案为：16辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有38种解：从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有3类，一类：“人民英雄”“时代楷模”，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，三类：“时代楷模”“全国道德模范”，所以一类：“人民英雄”“时代楷模”，发言方案：6，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，8，三
19、类：“时代楷模”“全国道德模范”，24，共有38种发言方案故答案为：38三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）x2+ax与g（x）ln（x+1）在（0，0）处有公共的切线（1）求a的值；（2）求函数h（x）f（x）g（x）（x1）的极值解：（1），因为f（x），g（x）在（0，0）处有公共的切线，所以f（0）g（0），即a1（2）根据（1）可知h（x）f（x）g（x）x2+xln（x+1），所以，令h（x）0，得x0或（舍去），当 x 变化时，h（x），h（x）变化情况如下表x（1，0）0（0，+）h（x）0+h（x）单调递减0单调递
20、增由表可知，当x0时，h（x）有极小值0，无极大值18在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示（）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率（）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包
21、含B1的事件为M，则P（M）（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），P（X4）X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望EX0+1+2+3+4219一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别是0.1，0.2，0.4，各部件的状态相互独立（1）求设备在一天的运转中，部件2，3中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望解：（1）设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，由题可得，P（A）0.1，P（B）0.2，P（C）0.4，则部件2，3中
22、至少有一个需要调整的概率为P10.80.60.52（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X0）0.90.80.60.432，P（X1）0.10.80.6+0.90.20.6+0.90.80.40.444，P（X2）0.10.20.6+0.10.80.4+0.90.20.40.116，P（X3）0.20.10.40.008，故X的分布列为：X 0 1 2 3 P 0.432 0.444 0.1160.008E（X）00.432+10.444+20.116+30.0080.720第五代移动通信技术是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸“5G”的性能目标是
23、高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接，某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100男性人数235131575女性人数15969542（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生
24、“比较了解”的概率现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生人数为X，求X的数学期望和方差附：K2（na+b+c+d）临界值表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1） 不太了解 比较了解 合计 男性 10 40 50 女性 30 20 50 合计 40 60100，有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关（2）抽取的100名学生中对5G“比较了解”的频率为，故抽取该校1名学生对5G“比较了解”的概率为，由题意可知
25、，XB（3，），E（X）3，D（X）21已知函数f（x）ex+tx（e为自然对数的底数）（）当te时，求函数f（x）的单调区间；（）若对于任意x（0，2，不等式f（x）0恒成立，求实数t的取值范围解：（）当te时，f（x）exex，f（x）exe由f（x）exe0，解得x1；f（x）exe0，解得x1函数f（x）的单调递增区间是（1，+）；单调递减区间是（，1）（）依题意：对于任意x（0，2，不等式f（x）0恒成立，即ex+tx0恒成立，即在x（0，2上恒成立令，当0x1时，g（x）0；当1x2时，g（x）0函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减所以函数g（x）在x1处取得
26、极大值g（1）e，即为在x（0，2上的最大值实数t的取值范围是（e，+）所以对于任意x（0，2，不等式f（x）0恒成立的实数t的取值范围是（e，+）22已知函数f（x）ax3+bx22x，且当x1时，函数f（x）取得极值为（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）6xm在2，0上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围解：（1）f（x）3ax2+2bx2，由题意得，即，解得，（2）由f（x）6xm（2x0）有两个不同的实数解，得在2，0上有两个不同的实数解，设，由g（x）x23x4，由g（x）0，得x4或x1，当x（2，1）时，g（x）0，则g（x）在2，1上递增，当x（1，0）时，g（x）0，则g（x）在1，0上递减，由题意得，即，解得，即实数m的取值范围是