1、1.3可线性化的回归分析自主整理1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的_,从_中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合.2.对于非线性回归模型一般可转化为_，从而得到相应的回归方程.高手笔记1.幂函数曲线y=axb.作变换=lny,v=lnx c=lna，得线性函数=c+bv.2.指数曲线y=aebx.作变换=lny,c=lna,得线性函数=c+bx.3.倒指数曲线y=aebx.作变换=lny,c=lna,v=，得线性函数=c+bv.4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx，得线性函数y=a+bv.名师解惑如何根据原始数据求拟合函数?剖析：（1）可先由原
2、始数据作散点图.（2）对于一些函数模型的图形要熟悉.如:幂函数y=axb型的图象为: 指数曲线y=aebx (3)倒指数曲线y=aebx (4)对数曲线y=a+blnx （3）由散点图找出拟合函数的类型.（4）将非线性函数转化为线性函数.（5）求出回归方程.讲练互动【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足函数关系模型为y=aebx，确定这个函数解析式.月份x123456人数y526168747883分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出.解：设=lny，c=lna，则=c+bx.由已知X123456=lny3.954.114.224.3044.356 74.41
3、8 8=21，=25.359 5，2=91，2=107.334，=90.341 3，=3.5，=4.226 58，b=0.09,c=-b=4.226 58-0.093.5=3.911 58，=3.911 58+0.09x.y=e3.911 58e0.09x.绿色通道:基础模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.变式训练1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件，为了估测以后每个月的产量，可用函数y=aebx来模拟该产品的月产量y与月份x的关系，求模拟函数.解：设=lny，c=lna，则=c+bx.月份x1234产量y11.21
4、.31.37x123400.182 30.262 40.314 8=10，=0.759 5，2=30，2=0.201 2，i=2.411，=2.5，=0.189 9，b=0.102 45，c=-b=0.189 9-0.102 452.5=-0.066，=-0.066+0.102 45x.y=e-0.066e0.102 45x.【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555
5、.05(1)画出散点图.(2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(3)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?解：(1)作散点图.(2)从散点图可看出函数模型为y=aebx型.设=lny，c=lna，则=c+bx.x607080901001101.8132.0672.301 62.4972.709 42.862x1201301401501601703.0413.290 63.437 53.659
6、73.855 44.008 2xi=1 380, i=35.542 4, xi2=173 000, xii=4 369.249,=115,=2.961 9,b=0.0197,c=-b=2.961 9-0.019 7115=0.696 4,=0.696 4+0.019 7x,y=e0.696 4e0.019 7x.当x=175时,=4.143 9,y=e=e4.143 9=63.048.=1.2371.2,此男子偏胖.绿色通道:根据给出的数据,画出散点图,选择散点图所符合的函数模型再转化为线性关系解答.变式训练2.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表：温度x/212325
7、27293235产卵个数y/个711212466115325求y与x之间的回归方程.解：（1）画出散点图.两变量符合指数函数y=aebx.令=lny，c=lna，则=c+bx.x212325272932351.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784=192，=25.286，=5 414，i=733.741，=27.428 6，=3.612 3.b=0.272，c=-b=-3.843，=3.843+0.272x.y=e-3.843e0.272x.同步测控我夯基，我达标1.设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的关系为y=cekx，其中c、k为常量，如果某游客
8、从大气压为1.01105 Pa的海平面地区,到了海拔为2 400 m、大气压为0.90105 Pa的一个高原地区,则k与c的取值分别是( ) 解析:将和分别代入y=cekx,得答案：A2.我国19902000年的国内生产总值如下表所示.年份1990199119921993产值/亿元18 598.421 662.526651.934 560.5年份1994199519961997产值/亿元46 670.057 494.966 850.573 142.7年份199819992000产值/亿元76 967.180 422.889 404.0则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为（ ）A.
9、y=aekx B.y=a+bxC.y=axb D.y=ae解析：画出散点图观察，可用y=a+bx刻画国民生产总值发展变化的趋势.答案:B3.下列数据x,y符合哪一种函数模型( )x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y=2+13x B.y=2ex C.y=2e D.y=2+lnx解析：取x=1,2，10分别代入各解析式判断.答案:D4.指数曲线y=aebx的图象为( ) 解析：y=a ebx，a0时y0，排除A、C,且xR，排除D,选B.答案:B5.倒指数曲线y=ae的图象为( ) 解析:y=a，当a0,b0时，图象为A.答案:A6.幂函数曲线y=
10、xb,当b1时的图象为( ) 解析:当b1时,图象为A,当0b1时为B,当b0时为C,当b=1时为D.答案:A7.x、y满足x0.20.61.01.21.41.61.82.02.2y0.040.3611.41.92.53.23.984.82则x、y之间符合函数模型_.解析:画出散点图,形如y=xb，其中b=2.答案:y=x28.x、y满足x-2-1.5-1-0.500.51y0.260.350.510.711.11.412.05则x、y之间符合函数模型_.解析:画出散点图，形如y=aebx，其中a=2，b=1.答案：y=exln2我综合，我发展9.若x，y满足x0.10.20.30.51234
11、5y2096420.940.650.510.45则x,y满足函数关系为_.解析:画出散点图，形如y=，其中b=2.答案:y=10.若x、y满足x0.40.512y0.0820.1350.367 80.607x5102030y0.818 70.904 80.9510.967 5则x、y满足函数关系是_.解析：画出散点图,当x无限大时，y逐渐接近于1，符合函数模型y=aebx.其中a=1，b=-1.答案：y=11.为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190（1）作出y关于x的散点图.（2）写出y关于x的模拟函数.解:(1)作散
12、点图.(2)由散点图知x、y之间满足函数关系为y=ae bx.设=lny,c=lna,则=c+bx.x1234561.791 82.484 93.218 93.891 84.553 95.247 0=21,=21.188 3,2=91,i=86.237,=3.5,=3.531 4,b=0.69,c=-b=3.531 4-0.693.5=1.115 9,c =1.115 9+0.69x.y=e1.115 9e0.69x.12.我国19501959年人口数据资料如下表:年份19501951195219531954时间t01234人数y/万人55 19656 30057 48258 79660 26
13、6年份19551956195719581959时间t56789人数y/万人61 45662 82864 56365 99467 207若y与t之间满足y=aebt关系，求函数解析式;若按此增长趋势估计大约在哪一年我国人口达到14亿？解：设=lny，c=lna,则=c+bt.t012310.918 610.938 410.959 210.981 8t456711.006 511.026 111.048 211.075 4t8911.097 311.115 5=45,=110.167 0,=285,i=497.593 6,=4.5,=11.016 7,b=0.0223,c=-b=11.016 7-
14、0.022 34.5=10.916 4,=10.916 4+0.022 3t. y=e10.916 4+0.022 3t.令y=140 000万，则10.916 4+0.022 3t=ln140 000=11.849 4，t=41.838 5.即大约在1950年后的第42年(即1992年)我国人口达到14亿,由此看来,计划生育是我国的基本国策.我创新，我超越13.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含量不断下降.现测得含碳量y(百分比)与熔化时间t(小时)的关系如下表：时间t5.05.25.45.65.86.0含碳量y(百分比)9.737.466.044.352.742.06时间
15、t6.26.46.66.87含碳量y(百分比)1.480.980.570.410.25求回归方程.分析:画出散点图观察样本点分布在一条指数函数曲线y=aebx的周围,再应用换元转化为线性回归问题求解.解:设z=lny，c=lna.时间t5.05.25.45.65.86.0z=lny2.2752.0101.7981.4701.0080.723时间t6.26.46.66.87.0z=lny0.392-0.020-0.562-0.892-1.386则=66，=6876，=400.4，ti=32.778 2，=6，=0.619 6，b=-1.845，c=-b=11.689，z=-1.845t+11.689.y=e-1.845 t+11.689.