1、郓高博雅书院收心考试高二试数学试题 2021年2月一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.已知直线l经过点P（1，2），且倾斜角为135，则直线l的方程为（）Ax+y30Bx+y10Cxy+10Dxy+302.若直线mx+2y20与直线x+（m1）y+20平行，则m的值为（）A1B1C2或1D23.圆心为点C（1，1），且在直线4x3y20上截得的弦长为2的圆的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x+1）2+（y1）24C（x1）2+（y+1）22D（x1）2+（y+1）244.若圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y26x8y+m0外切，则实数m（）A24B16C24D1
2、65.记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则（）A2n1B221nC22n1D21n16.数列的前项和为，若，则A1BCD7.已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A.1B.1C.1 D.18.已知椭圆E：+1（ab0）的左焦点为F，A、B两点是椭圆E上关于y轴对称的点，若ABF能构成一个内角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率e（）A BB C1 D2二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分,部分选对得3分,错选得0分9.已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（）Axy
3、+20Bx+y60Cx2D2xy010.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A BC D11.若直线l：y+1k（x+）与圆C：x2+y21有公共点，则实数k的值可以为（）A2B1CD 12.已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的值可以为（）A4BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，为中点异面直线与所成角的余弦值为 14.设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_15.过双曲线C：1(ab0)的右顶点作x
4、轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为_16.直线ykx+k与焦点在y轴上的椭圆+1总有两个公共点，则实数m的取值范围是 三、解答题：本大题共题，共分.17.已知数列是公差不为零的等差数列，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和18.已知等差数列的前项和为，；各项均为正数的等比数列满足，（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和19.已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线yx+2交椭圆C于A、B两点求：（）椭圆C的标准方程；（）弦AB的中点坐标及弦长20.如图，平面，
5、（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长21.已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C交于A，B，与x轴的交点为P.（）若|AF|BF|4，求l的方程；（）若3，求|AB|.22.设点M和N分别是椭圆C：1（a0）上不同的两点，线段MN最长为4（）求椭圆C的标准方程；（）若直线MN过点Q（0，2），且0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围2021年2月收心考试数学答案1.解：直线l的倾斜角为135，斜率tan1351，又直线l过点（1，2），直线的点斜式为y21（x+1），即x+y10故选：B2.，所以m2故选：D3.解：圆心C到直线4x3y2
6、0的距离d，又圆截直线4x3y20所得的弦长为2，圆的半径r则所求圆的方程为（x1）2+（y+1）24故选：D4.解：根据题意，圆C1：x2+y24，圆心为（0，0），半径为R2，圆C2：x2+y26x8y+m0，即（x3）2+（y4）225m，圆心为（3，4），半径r若圆C1：x2+y24与圆C2：x2+y26x8y+m0外切，则有|C1C2|52+，解可得m16，故选：D5.解：设等比数列的公比为q，a5a312，a6a4q（a5a3），q2，a1q4a1q212，12a112，a11，2n1，an2n1，221n，故选：B6.解：数列的前项和为，所以：故选：7.解：选B，由题意得，c2a
7、2b225，a4，b3，双曲线的标准方程为1.8.解：如图，设椭圆E的右焦点为F，连接BF，则四边形FABF为等腰梯形，其中，在焦点三角形FFB中，即椭圆E的离心率为故选：C9.解：当直线l过原点时，直线方程为y2x，即2xy0；当直线l不过原点时，设直线方程为x+ym，则m2+46，直线方程为x+y60直线l的方程可能为2xy0或x+y60故选：BD10.解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：椭圆的焦点在x轴上，则a3，b，此时椭圆的方程为，椭圆的焦点在y轴上，则b3，则a6，此时椭圆的方程为；故选AC11.解：如图：原点O到直线直线l的方程为kxy
8、+的距离d，解得k0或k由图可知，要使直线l：y+1k（x+）与圆C：x2+y21有公共点，则实数k的取值范围是故选：BCD12.解：由题意c2，1，a2b2+c2，解得a28，b24，椭圆方程为,可得F1（2，0），设P（x，y）则：，所以可得：x282y2，则（2x，y）（2x，y）x24+y2又2，2，所以当y时，取最大值，当y时取最小值，故选：BC13.解：以A为原点建系，则，1，异面直线与所成角的余弦值为14.解：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.15.解：因为渐近线yx
9、与直线xa交于点 A(a，b)，c4且4，解得a24，b212，因此双曲线的标准方程为1.16.解：直线ykx+k恒过（1，0），直线ykx+k与焦点在y轴上的椭圆+1总有两个公共点，可得 解得m（1，4）故答案为：（1，4）17.解:（）由题意，设等差数列的公差为，则，成等比数列，即，整理，得，解得（舍去），或，（）由（1）知，设，故18.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得，解得；设等比数列的公比为，由题意得，解得；（）令的前项和为，则， 两式作差可得：，.19.解：（）椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，椭圆的焦点在x轴上，c2，a3，b1，椭圆C的标准方程.（）设A
10、（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0）由消去y，得10x2+36x+270，弦AB的中点坐标为（，），20.解：（）以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可得，0，0，2，1，0，设，则，2，所以，设为平面的法向量，则，令，得直线与平面所成角的正弦值为；（）解：设为平面的法向量，则，可得，由题意，解得符合题意线段的长为21.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)（）由题设得F，故|AF|BF|x1x2，又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t. 所以l的方程为yx.（）由3可得y13y2.由得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.22.解：（）因为线段MN最长为4，所以42a，即a2，所以椭圆C的标准方程为（）由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为ykx+2，联立，整理得（1+4k2）x2+16kx+120，由（16k）24（1+4k2）1216（4k23）0，可得设M（x1，y1），N（x2，y2），则因为，所以,解得所以设,所以直线OP的斜率k，又，故OP的斜率的取值范围是