1、2016年广东省肇庆市高考数学三模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|log2x0，B=x|x1，则（）AAB=BAB=RCBADAB2若复数z满足（1+2i）z=（1i），则|z|=（）A B C D3一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A66B76C63D
2、734如图是计算+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci20Di205一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A cm3B cm3C cm3D7cm36在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A3B1C3D17已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值是（）A3B C12D238在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD9（x+2y）7展开式中系数最大的项是（）A68y7B112x3y4C672x
3、2y5D1344x2y510设双曲线=1（0ab）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A2B C D11已知函数f（x）= 满足条件，对于x1R，存在唯一的x2R，使得f（x1）=f（x2）当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A BC +3D+312已知为锐角，且，函数，数列an的首项，则有（）Aan+1anBan+1anCan+1anDan+1an二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知x=3是函数f（x）的一个极值点，则实数a=14在ABC中，若，则cosBAC的值等于15设
4、数列an（n=1，2，3）的前n项和Sn满足Sn+a1=2an，且a1，a2+1，a3成等差数列则a1+a5=16将函数的图象向左平移n（n0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则n的最小值是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17如图，ABCD是直角梯形，ABCD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DEAB，F是AC与DE的交点（）求sinCAD的值；（）求ADF的面积18某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表成绩（分）12345678910人数（个）0009
5、12219630（）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较（） 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率19如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE平面ABCD（）证明：BDCE；（）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值20己知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为，单位圆O的切线l与椭圆C相交于A、B两点（）求证：OAOB
6、；（）求OAB面积的最大值21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x），g（x）=x2ax1，D是满足方程x2+（k2）x+2k1=0的两实数根分别在区间（0，1），（1，2）内的实数k的取值范围（1）求f（x）的极值；（2）当aD时，求函数F（x）=f（x）g（x）在区间0，3上的最小值选修4-1：几何证明选讲22如图所示，AB为O的直径，BC、CD为O的切线，B、D为切点（1）求证：ADOC；（2）若O的半径为1，求ADOC的值选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2
7、+2cos4=0（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标（0，02）选修4-5：不等式选讲24已知a0，b0，且a+b=1（）求ab的最大值；（）求证：2016年广东省肇庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|log2x0，B=x|x1，则（）AAB=BAB=RCBADAB【考点】集合的表示法【分析】直接解对数不等式化简集合A，又已知集合B=x|x1，则答案可求【解答】解：A=x|log2x0=x|x1，B=x|x1，则AB=，AB=x|x1或x1R故选：
8、A2若复数z满足（1+2i）z=（1i），则|z|=（）A B C D【考点】复数求模【分析】由（1+2i）z=（1i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求【解答】解：由（1+2i）z=（1i），得=，则|z|=故选：C3一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A66B76C63D73【考点】系统抽样方法【分析】根
9、据总体的容量比上样本的容量求出间隔k的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第7组中抽取的号码是：m+60的值【解答】解：由题意知，间隔k=10，在第1组随机抽取的号码为m=6，6+7=13，在第7组中抽取的号码63故选C4如图是计算+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci20Di20【考点】程序框图【分析】根据算法的功能是计算+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件【解答】解：根据算法的功能是计算+的值，终止程序运行的i=11，判断框中应填入的条件是：i10或i11故选：B5一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
10、A cm3B cm3C cm3D7cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥ABCD，其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC平面BCD，几何体的体积V=（cm3），故选：A6在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A3B1C3D1【考点】等比数列的性质【分析】由已知条件，求出a4a3=2a3，由此能求出公比【解答】解：等比数列an中，a3=2S2+1，a4=2S3+1，a
11、4a3=2S3+1（2S2+1）=2（S3S2）=2a3，a4=3a3，q=3故选：C7已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值是（）A3B C12D23【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=12，故选：C8在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接
12、球的半径，就可以求出其体积了【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=（）3=故选C9（x+2y）7展开式中系数最大的项是（）A68y7B112x3y4C672x2y5D1344x2y5【考点】二项式系数的性质【分析】Tr+1=2rx7ryr由，解出即可得出【解答】解：Tr+1=2rx7ryr由，可得：解得r=5（x+2y）7展开式中系数最大的项是T6=x2y5=672x2y5故选：C10设双曲线=1（0ab）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A2B C D【考点】双曲
13、线的简单性质【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率【解答】解：直线l的方程为，c2=a2+b2原点到直线l的距离为，16a2b2=3c4，16a2（c2a2）=3c4，16a2c216a4=3c4，3e416e2+16=0，解得或e=2.0ab，e=2故选A11已知函数f（x）= 满足条件，对于x1R，存在唯一的x2R，使得f（x1）=f（x2）当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A BC +3D+3【考点】分段函数的应用【分析】根据条件得到f（x）在（，0）和（0，+）上单调，得到a，b的关系进行求解即可【解答】解：
14、若对于x1R，存在唯一的x2R，使得f（x1）=f（x2）f（x）在（，0）和（0，+）上单调，则b=3，且a0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=，则a+b=+3，故选：D12已知为锐角，且，函数，数列an的首项，则有（）Aan+1anBan+1anCan+1anDan+1an【考点】数列递推式【分析】利用二倍角的正切可求得tan2=1，为锐角，可求得sin（2+）=1，于是可知函数f（x）的表达式，由数列an的首项，可得an+1=an2+an，即an+1an=an20，问题得以解决【解答】解：为锐角，且，tan2=1，2=，sin（2+）=1
15、，f（x）=x2+x，数列an的首项，an+1=an2+an，an+1an=an20，an+1an，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知x=3是函数f（x）的一个极值点，则实数a=5【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=3时取得极值，可以得到f（3）=0，代入求a值【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=3时取得极值，f（3）=0a=5，验证知，符合题意，故答案为：514在ABC中，若，则cosBAC的值等于【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知向量的坐标求出的坐标
16、，再求出，|，|，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：，=+=（1，2），=21+（1）（2）=4，|=，|=，cosBAC=，故答案为：15设数列an（n=1，2，3）的前n项和Sn满足Sn+a1=2an，且a1，a2+1，a3成等差数列则a1+a5=34【考点】数列递推式【分析】根据Sn+a1=2an，且a1，a2+1，a3成等差数列，求出a1=2，于是得到数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，即可求出a1+a5的值【解答】解：Sn+a1=2an，当n=2时，S2+a1=2a2，a1+a2+a1=2a2，a2=2a1，当n=3时，S3+a1=2a3，a1+a2+a3+a1=2a3，
17、a3=4a1，a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，即2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2，a2=2a1=4，a3=4a1=8，数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，a1+a5=2+224=34，故答案为：3416将函数的图象向左平移n（n0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则n的最小值是【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，然后根据图象平移关系以及函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可【解答】解：y=2（sinx+cosx）=2sin（x+），若将函数的图象向左平移n（n0）个长度单
18、位后，得到y=2sin（x+n+）若图象关于原点对称，则n+=k，即n=k，kZ当k=1时，n取得最小值为=，故答案为：三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17如图，ABCD是直角梯形，ABCD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DEAB，F是AC与DE的交点（）求sinCAD的值；（）求ADF的面积【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（）由题意分别在RTABC和RTADE由三角函数定义DAE和CAB的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；（）由中位线可得DF=EF=BC=，代入三角形的面积公式计算可得【解答】解：（）由题意可得在四边形BCDE为边长为1
19、的正方形，在RTABC中sinCAB=，cosCAB=，同理RTADE中sinDAE=cosCAB=sinCAD=sin（DAECAB）=；（）由题意可得DF=EF=BC=，ADF的面积S=DFAE=1=18某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表成绩（分）12345678910人数（个）000912219630（）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较（） 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所
20、给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）分别求出A校样本的平均成绩、方差和B校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中（）设CA1表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，CA2表示事件“A校学生计算机成绩为9分”，CB1表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，CB2表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C=CB1CA1CB2CA2，由此能求出P（C）【解答】解：（）从
21、A校样本数据的条形图知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人，A校样本的平均成绩为： =6（分），A校样本的方差为= 6（46）2+15（56）2+21（66）2+12（76）2+3（86）2+3（96）2=1.5从B校样本数据统计表知：B校样本的平均成绩为： =6（分），B校样本的方差为= 9（46）2+12（56）2+21（66）2+9（76）2+6（86）2+3（96）2=1.8=，两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中（）设CA1表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，CA2表
22、示事件“A校学生计算机成绩为9分”，CB1表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，CB2表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C=CB1CA1CB2CA2，P（C）=P（CB1CA1CB2CA2）=P（CB1CA1）+P（CB2CA2）=P（CB1）P（CA1）+P（CB2）P（CA2），由所给数据得P（CA1）=，P（CA2）=，P（CB1）=，P（CB2）=P（C）=19如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE平面ABCD（）证明：BDCE；（）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成
23、二面角的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）根据面面垂直的性质定理即可证明BDCE；（）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的余弦值【解答】证明：AB=2BC=4，BD=2，AB=4，BC=2，则BD2+AD2=AB2，则ADB是直角三角形，则ADBD，则BCBD，BE=CE，取BC的中点0，则EOBC，平面BCE平面ABCDEO平面ABCD，BD平面ABCD，EOBD，BCE=O，BD平面BCE，则BDCE；（）若BE=CE=，则EO=3，建立以O为坐标原点，OP，OB，OE分别为x，y，z轴的空间直角
24、坐标系如图：则E（0，0，3），D（2，1，0），A（2，3，0），则=（0，2，0），=（2，1，3），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则=2y=0， =2xy+3z=0，则y=0，2x+3z=0，令x=1，则z=，即=（1，0，），平面BCE的法向量=（1，0，0），则cos，=，即平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值20己知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为，单位圆O的切线l与椭圆C相交于A、B两点（）求证：OAOB；（）求OAB面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的
25、离心率为，求出椭圆方程为，单位圆O的方程为x2+y2=1，当单位圆的切线与x轴垂直时，OAOB当单位圆的切线与x轴不垂直时，设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能证明OAOB（）由弦长公式求出|AB|，又O到直线AB的距离d=1，由此能求出OAB面积的最大值【解答】证明：（）中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为，设椭圆方程为=1，ab0，且，解得a=2，c=，椭圆方程为，单位圆O的方程为x2+y2=1，当单位圆的切线与x轴垂直时，A（1，1），B（1，1），或A（1，1），B（1，1），=11=
26、0，OAOB当单位圆的切线与x轴不垂直时，设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），圆心（0，0）到直线y=kx+m的距离d=1，m2=k2+1，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m24=0，=36k2m24（3k2+1）（3m24）0，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，=x1x2+y1y2=（k2+1）+km+m2=0，OAOB综上，OAOB解：（）|AB|=22，又O到直线AB的距离d=1，OAB面积的最大值S=121设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x），g（x）=x2ax1，D是满足方程x2+（k2）x+
27、2k1=0的两实数根分别在区间（0，1），（1，2）内的实数k的取值范围（1）求f（x）的极值；（2）当aD时，求函数F（x）=f（x）g（x）在区间0，3上的最小值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（2）求出D，求出F（x）的导数，得到F（x）的单调性，从而求出函数在闭区间上的最小值即可【解答】解：（1）f（x）=（1+x）22ln（1+x），（x1），f（x）=，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：1x0，f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）
28、极小值=f（0）=1；（2）设h（x）=x2+（k2）x+2k1，由题意可得，由此求得k，故D=（，）；F（x）=f（x）g（x）=（a+2）x2ln（1+x）+2，a（，），F（x）=a+2=，令F（x）=0，解得：x=，a（，），1，F（x）在0，3单调递增，F（x）最小值=F（0）=2选修4-1：几何证明选讲22如图所示，AB为O的直径，BC、CD为O的切线，B、D为切点（1）求证：ADOC；（2）若O的半径为1，求ADOC的值【考点】圆的切线的性质定理的证明【分析】（1）要证明ADOC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明1=3即可
29、得证（2）因为O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求ADOC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（1）的结论，我们易证明RtBADRtODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路【解答】解：（1）如图，连接BD、ODCB、CD是O的两条切线，BDOC，2+3=90又AB为O直径，ADDB，1+2=90，1=3，ADOC；（2）AO=OD，则1=A=3，RtBADRtODC，ADOC=ABOD=2选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2+2cos
30、4=0（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标（0，02）【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（）把把C1的参数方程先消去参数化为直角坐标方程，再化为极坐标方程（）把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，先求出它们的交点的直角坐标，再把它化为极坐标【解答】解：（）把C1的参数方程（t为参数），先消去参数化为直角坐标方程为x=y2，化为极坐标方程为cos=（sin）2（）曲线C2的极坐标方程为2+2cos4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x4=0，即 （x+1）2+y2=5，由，求得或，C1与C2交点的直角坐标为（1，1）或（1，1），再把它们化为极坐标为（，）或（，）选修4-5：不等式选讲24已知a0，b0，且a+b=1（）求ab的最大值；（）求证：【考点】不等式的证明【分析】（）由a0，b0，运用均值不等式a+b2，可得ab的最小值；（）将不等式的左边化为ab+，运用均值不等式和对勾函数的单调性，即可得证【解答】解：（）由a0，b0，1=a+b2，即有0ab，当且仅当a=b=时，ab取得最大值；（）证明：由（）可得a，b0，且0ab，（a+）（b+）=ab+4+2=6+=，当且仅当a=b=时，等号成立2016年7月21日