1、本册综合测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不论m为何实数，直线(m1)xy2m10恒过定点()A(2,3) B(2，3)C(1,0) D(0，2)答案A解析直线(m1)xy2m10可化为m(x2)(xy1)0，由得所以直线恒过定点(2,3)2如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz()A B C D1答案C解析因为()，因此x，yz，故xyz.3垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是(
2、)Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0答案A解析垂直于直线yx1的直线的斜率为1，故可设切线方程为yxb，即xyb0.所以圆心(0,0)到切线的距离d1，解得b.又直线与圆相切于第一象限，所以直线方程为xy0.故选A.4若双曲线1(a0)的一条渐近线与直线yx垂直，则此双曲线的实轴长为()A2 B4 C18 D36答案C解析双曲线1(a0)的一条渐近线与直线yx垂直，双曲线的渐近线方程为3yax，1，解得a9，2a18.故选C.5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为()A B C D答案B解析以A为坐
3、标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A(0,0,0)，F(2,1,2)，C1(2，2,2)，E(2,1,0)，(2,1,2)，(0，1，2)，设异面直线AF与C1E所成的角为，则cos，异面直线AF与C1E所成角的余弦值为，故选B.6已知P(t，t)，tR，点M是圆O1：x2(y1)2上的动点，点N是圆O2：(x2)2y2上的动点，则|PN|PM|的最大值是()A1 B C1 D2答案D解析因为点M是圆O1上的点，点N是圆O2上的点，两圆的半径都是，又因为P(t，t)，tR在直线yx上，则求|PN|PM|的最
4、大值就是求的最大值，即求|PO2|PO1|1的最大值，而|PO2|PO1|的最大值是点O1关于直线yx的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离所以|PO2|PO1|1的最大值是2.即|PN|PM|的最大值为2.7已知P是双曲线1(a0，b0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，直线PF2的斜率为4，PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为()A3 B2 C D答案B解析设P(x，y)，由P是双曲线1(a0，b0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，PF1F2的面积为24，可得c6，12y24，y4.因为直线PF2
5、的斜率为4，所以点P的横坐标x满足4，解得x5，则P(5,4)，|PF1| 13，|PF2| 7，所以2a137，a3，所以双曲线的离心率e2.故选B.8已知y24x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y24x于A，B，若AFB60，则|AB|()A. B C4 D3答案B解析设A(x1,2)，B(x2,2)，x2x10，因为kQAkQB，即，整理化简，得x1x21，因为|AB|2(x2x1)2(22)2，|AF|x11，|BF|x21，代入余弦定理|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60整理化简，得x1x2，又因为x1x21，所以x1，x23.|AB|，故选
6、B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列命题中正确的是()AA，B，M，N是空间中的四点，若，不能构成空间基底，则A，B，M，N共面B已知a，b，c为空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的基底C若直线l的方向向量为e(1,0,3)，平面的法向量为n，则直线lD若直线l的方向向量为e(1,0,3)，平面的法向量为n(2,0,2)，则直线l与平面所成角的正弦值为答案ABD解析对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，不能构成空间基底，则，共面，则A，B，M，N共面，故A正确；对
7、于B，已知a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c不共面，若mac，则a，b，m也不共面，则a，b，m也是空间的基底，故B正确；对于C，因为en1(2)0030，则en，若l，则l，但选项中没有条件l，有可能会出现l，故C错误；对于D，因为cose，n，所以直线l与平面所成角的正弦值为，故D正确故选ABD.10已知点A是直线l：xy0上一定点，点P，Q是圆x2y21上的动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是()A(0，) B(1，1)C(，0) D(1,1)答案AC解析原点到直线l的距离为d1，则直线l与圆x2y21相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2y21的切线时，PAQ取得最大
8、值，连接OP，OQ，由于PAQ的最大值为90，且APOAQO90，|OP|OQ|1，所以四边形APOQ为正方形，所以|OA|OP|，设点A的坐标为(t，t)，由两点间的距离公式得|OA|，整理得2t22t0，解得t0或，因此点A的坐标为(0，)或(，0)故选AC.11已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有()A双曲线C的渐近线方程为yxB双曲线C的渐近线方程为yxCMAN60DMAN45答案BC解析双曲线C：1的渐近线方程为yx，离心率为，则1，则，故双曲线C的渐近线方程为yx，取MN的中点P，连接AP，
9、利用点到直线的距离公式可得|AP|，则cosPAN，所以cosMANcos2PAN21，则MAN60，故选BC.12已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|4，则以下结论正确的是()Ap2 B|BF|2C|BD|2|BF| DF为AD的中点答案ACD解析如图，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y，联立得12x220px3p20，解得xAp，xBp，由|AF|p2p4，得p2，A正确；由p2，得抛物线C的方程为y24x，xB，则|BF|1，B错误；|BD|，|BD|2|BF|，C
10、正确；|BD|BF|4，则F为AD的中点，D正确故选ACD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13直线3axy10与直线xy10垂直，则a的值是_.答案或1解析由3a(1)10，得a或a1.14已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.答案解析以垂直于BC的方向为x轴，为y轴的正方向，为z轴的正方向建立空间直角坐标系则(0,1,1)，B1(0,0,1)，由于ABC120，则xAABsin60，所以A(，1,0)，(，1,1)，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos.15已知直线y
11、ax与圆C：x2y22ax2y20相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则圆C的面积为_.答案6解析圆C的方程x2y22ax2y20可化为(xa)2(y1)2a21，则圆心C(a,1)，半径R，直线yax与圆C相交，ABC为等边三角形，圆心C到直线axy0的距离为Rsin60，即d，解得a27，圆C的面积为R2(71)6.16已知椭圆的方程为1，双曲线的方程为1，它们有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|12，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则椭圆的半焦距c的取值范围是_，的取值范围是_.答案(3,6
12、)(2,4)解析由题意可知则又由PF1F2的三边关系可得解得3c6.故椭圆的半焦距c的取值范围是(3,6)由离心率的定义可得，因为3c6，所以，则20)，由准线的方程为x1，得p2，所以抛物线的方程为y24x.由题意，设直线PQ的方程为xmy2，代入y24x，消去x，整理得y24my80，从而y1y28.(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则.设直线PM的方程为xny1，代入y24x，消去x，整理得y24ny40，所以y1y34，同理可得y2y44.故，为定值21(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE中，AC与BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2.(1)作平面CDE与
13、平面ABE的交线l，并写出作法及理由；(2)求证：平面BDE平面ACE；(3)若多面体的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值解(1)过点E作AB(或CD)的平行线，即为所求直线l.AC与BD交于一点，A，B，C，D四点共面又四边形ABCD边长均相等，四边形ABCD为菱形，从而ABDC.又AB平面CDE，且CD平面CDE，AB平面CDE.AB平面ABE，且平面ABE平面CDEl，ABl.(2)证明：取AE的中点O，连接OB，OD.ABBE，DADE，OBAE，ODAE.又OBODO，AE平面OBD，BD平面OBD，故AEBD.又四边形ABCD为菱形，ACBD.又AEACA，BD平面AC
14、E.又BD平面BDE，平面BDE平面ACE.(3)由VEABCD2VEABD2VDABE2，即VDABE1.设三棱锥DABE的高为h，则h1，解得h.又DO，DO平面ABE.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1,0)，B(，0,0)，D(0,0，)，E(0，1,0)(0,1，)，(，1,0)设平面BCE的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1)故平面BCE的一个法向量为n(1，1)又(0,1，)，于是cos，n.故直线DE与平面BCE所成角的正弦值为.22(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点A(2,0)(1)求椭圆的标准方程；(2)设O为椭
15、圆的中心，点D(2,0)，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足4，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程解(1)因为椭圆的离心率e，且a2，所以c.又b2a2c22，故椭圆的标准方程为1.(2)设直线l的方程为xty2(当t存在时，由题意知t0)，代入椭圆方程x22y24，并整理得(t22)y24ty0.解得yB，于是xBtyB2，即B.设C(ty02，y0)，则.由已知得4，得84t22t3y04t28，解得y0，于是C.(*)又D(2,0)，此时，.所以0，于是DBOC.故直线BD与OC的交点P的轨迹是以OD为直径的圆(除去O，D两点)又当t不存在时，B，C，D，P四点重合，此时P(2,0)也满足题意于是点P的轨迹方程是x(x2)y20，即x2y22x0(x0)或解：(*)前相同)由B，D两点的坐标可得直线BD的方程为y(x2)又由点C的坐标可得直线OC的方程为yx.两式相乘，消去参数t得y2x(x2)(如果只求出交点P的坐标，此步不得分)又当t不存在时，B，C，D，P四点重合，此时P(2,0)也满足题意故直线BD与OC的交点的轨迹方程x2y22x0(x0)