1、2020年天津市滨海七所学校高三毕业班联考数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 记全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A和集合B，再根据补集和交集运算即可求出.【详解】或，.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集和交集的混合运算，其中涉及到一元二次不等式和指数不等式的求解，属于基础题.2. 已知直线：，：，其中，则“”是“”的（ ）A. 充分不
2、必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由时，得到，解得或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，直线：，：，当时，可得，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的图象与性质，求得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的性
3、质，可得，又由，因为，所以，可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4. 在中，内角，的对边分别为，已知，则的面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理化简得，再由余弦定理得，进而得到，利用余弦定理，列出方程求得，最后结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】在中，由正弦定理，可得，即，又由余弦定理可得，可得，因为，由余弦定理，可得，即，即，解得，所以三角形的面积为.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公
4、式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5. 已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线，求得，得到，再由焦点到渐近线的距离为，求得，进而得到，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，即，又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以焦点到的距离为，所以，又由，所以双曲线的方程为.故选：D.【点睛】本题主要考
5、查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）A. 4天B. 5天C. 6天D. 7天【答案】B【解析】【分析】由蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，根据，列出方程，即可求解.【详解】由题意，蒲第
6、一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又因为，即，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7. 已知函数f（x）（，xR）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是
7、（ ）A. 函数g（x）是奇函数B. g（x）的图象关于直线对称C. g（x）在上增函数D. 当时，函数g（x）的值域是0，2【答案】B【解析】【分析】先根据题意化简函数，然后根据题意求出周期，再根据变换求出g（x），然后判断选项即可【详解】sinx2sin()，由题意知函数周期为，则，2，从而2sin(），把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数2sin()，不是奇函数，A错；在是单调递增，C错；时，函数的值域是1,2，D错；的图象关于直线对称，B对；只有选项B正确，故选：B【点睛】本题考查三角函数，图象的变换，以及图象的性质，属于中档题8. 在梯形中，已知，若，则（
8、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的运算法则，化简得到，得到，即可求解.【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：，又因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 已知函数，若函数（且）在区间上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据为偶函数以及利用导数判断在的单调性，画出函数图象，使用等价转化的思想可知与图象有4个交点得，计算即可.【详解】由题可知：函数（且）在
9、区间上有4个不同的零点等价于函数与图象在有4个交点，由所以函数为偶函数，当时，所以函数在单调递增,且，如图由图可知：当时，所以，若，函数单调递减，不符合题意当时，所以要满足题意则，所以故选：B【点睛】本题考查函数零点问题，学会使用等价转化的思想，将函数零点个数问题转化为函数图象交点个数问题，考查分析能力以及计算能力，属中档题.第卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）10. 已知复数，则复数的虚部为_.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简得，进而求得复数的虚部，得到答案.【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了
10、复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11. 二项式，则该展开式中的常数项是_.【答案】180【解析】【分析】求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式的常数项是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12. 已知圆C：x2+y22x2y6=0.直线l过点(0，3)，且与圆C交于AB两点，|AB|=4，则直线l的
11、方程_.【答案】或【解析】【分析】根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线l的距离d=2，分直线l的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案.【详解】解：根据题意，圆C：x2+y22x2y6=0即(x1)2+(y1)2=8，圆心C(1，1)，半径r=2，又由直线l与圆C交于AB两点，|AB|=4，则点C到直线l的距离，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，点C到直线l的距离d=1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kxy+3=0，则有，解可得或；故直线l的方程为或；故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，
12、涉及弦长的计算，属于基础题.13. 底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥，设正方形的底面边长，因为四棱锥的体积为12，即，解得，再正方形中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得，所以，则外接圆的直径为，解得，即四棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接
13、球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.14. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.【详解】根据题意可分为2种情况讨论：（1）若小张或小赵入选，则有种不同的选法；（2）若小张，
14、小赵都入选，则有种不同的选法，综上可得，共有种不同的选法.故答案为：.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15. 已知，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值.【详解】，设，所以原式=，令所以原式=.(函数在上单调递增)故答案为：【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法；
15、(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设，换元一定要注意新元的范围.三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. 某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在内，其中语文成绩分组区间是：，.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示：分组区间语文人数243数学人数124（1）求图中的值及数学成绩在的人数；（2）语文成绩在3名学生均是女生，数学成绩在的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件发生的概率；（3）若
16、从数学成绩在的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）数学成绩在的人数为8人（2）（3）详见解析【解析】【分析】（1）由根据频率分布直方图的性质，求得，再根据频率分布直方图数据，即可求解；（2）由事件可分为2个男生，2个女生；3个男生1个女生；4个男生三种情况，即可求解相应的概率；（3）由题意，得到可能取值有，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，可得，解得.则语文成绩在，中的人数分别为，则数学成绩在，中的人数分别为，所以数学成绩在的人数为8人.（2）从这7名学生中随
17、机选取4名学生，事件为：“其中男生人数不少于女生人数”，可分为2个男生，2个女生；3个男生1个女生；4个男生，三种情况：所以事件发生的概率.（3）由题意可知可能取值有0，1，2.，的分布列为012所以.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17. 已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.（1）求数列与数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和.【答案】（1）;
18、，（2）【解析】【分析】（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，得到答案.（2）由（1）可得，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和，得到答案.【详解】（1）由题意，数列的前项和为，当时，当时，当时也满足上式所以数列的通项公式为.设数列的首项为，公比为，则，.（2）由（1）可得，所以设前项和为成，前项和为，【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减
19、法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18. 如图，三棱柱中，侧面，已知，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；（3）假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为，又
20、，侧面，.又，平面直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量为，令，则，设平面的一个法向量为，令，则，.设二面角为，则.设二面角的余弦值为.（3）假设存在点，设，设平面的一个法向量为，得.即，或，或.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 已知椭圆的离心率，左焦点为，右焦点
21、为，且椭圆上一动点M到的最远距离为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点.（）求椭圆C的标准方程；（）当以为直角时，求直线AB的方程；（）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）或；（）存在，（2,0）.【解析】【分析】（）根据椭圆的性质直接解方程求解即可；（）由题意可知，当k不存在时，不符合题意，设，故且，进而解得或，进而得直线的斜率与方程；（）设，与椭圆方程联立得，再根据斜率公式计算化简即可得答案.详解】解：（），.（）解法一：由题意可知，当k不存时，不符合题意，设，又，或，直线AB的方程为或.解法二：由题意可知，
22、当k不存在时，不符合题意.设直线，则，得，直线AB的方程为或.（）设，.【点睛】本题考查椭圆的方程求解，直线过定点问题，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.20. 已知函数f（x）msin（1x）+lnx（1）当m1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m0且时，求函数g（x）在（0，e上的最小值；（3）当m0时，有两个零点x1，x2，且x1x2，求证：x1+x21【答案】（1）f（x）在（0，1）上单调递增；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）将m1代入f（x）中，然后求导判断f（x）在（0，1）上的单调性；（2）由条件求出g（x）的解析式，然后求导判断g（x）在（0
23、，e上的单调性，再求出其最小值；（3）求出个零点x1，x2，得到，构造函数，根据函数的单调性证明即可【详解】（1）当m1时，f（x）sin（1x）+lnx，则f（x）cos（1x），当x（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，f（x）f（1）0，当x（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增（2）当m0时，（，0xe），则，当时， ，此时函数在区间（0，e上单调递减，函数在处取得最小值，即 ；当 时，令，当 时，即当时此时函数在区间（0，e上单调递减，函数在处取得最小值，即；综上所得.（3）当m0时，x1，x2是函数的两个零点，两式相减，可得，即，令（0t1），则记，则0t1，F（t）0恒成立，F（t）F（1），即，故x1+x21【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题