1、第2课时利用导数研究函数的最值1.了解函数的最值与极值的区别和联系2.理解函数最值的概念3掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的求法学生用书P611函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值和最小值，若函数在(a，b)是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点处取得2求可导函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函
2、数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间1，0)(0，1上有最值()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值答案：A3函数f(x)3x4x3(x0，1)的最大值是()A1 B.C0 D1答案：A4函数ysin xx在区间0，2上的最小值为_答案：2求函数的最值学生用书P61求下列函数的最值：(1)f(x)sin xx(x)；(2)f(x)4x33x236x5，x2，) 【解】(1)f(x)cos x1，令f(x)0，得x0，所以f(0)000，f()1，f()1，所以f(x)m
3、ax1，f(x)min1.(2)f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x2(2，)(，)f(x)00f(x)57由于当x时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数，因此，函数f(x)在2，)上只有最小值，无最大值求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的全部实根x0，且x0a，b；(3)求最值，有两种方式：判断各分区间上的单调性，然后求出最值；将f(x0)的值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值 已知函数f(x)2x33x212x3.(1)求f(x)的单调区间
4、；(2)求f(x)在3，3上的最值解：(1)f(x)6(x2)(x1)，由f(x)0，得x1，由f(x)0得2x0)，x1，2的最大值为3，最小值为29，求a、b的值【解】f(x)3ax212ax3a(x24x)令f(x)0，得x0或x4，因为x1，2，所以x0.因为a0，所以f(x)，f(x)随x变化情况如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0f(x)最大值3所以当x0时，f(x)取最大值，所以b3.又f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，所以当x2时，f(x)取最小值，16a329，所以a2，所以a2，b3. 已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字
5、母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其他性质 若a0，函数yx在(0，)内的最小值为4，则a_解析：y1.当x时，y10；当0x时，y10时，f(x)2恒成立，求实数a的取值范围解：由f(x)2ln x得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)时，f(x)0，故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1.要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，即ae.1函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最
6、小值2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值最多只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值将极大值误认为是最大值、极小值误认为是最小值，不与端点值作比较，是常犯的错误1函数yf(x)在a，b上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但
7、无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值解析：选D.f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在(1，1)上是单调递减函数，故在开区间(1，1)内无最大值和最小值，故选D.3函数y4x2(x2)在x2，2上的最小值为_，最大值为_解析：由y12x216x0，得x0或x.当x0时，y0；当x时，y；当x2时，y64；当x2时，y0.比较可知ymax0，ymin64.答案：6404设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x(0，1，都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_解析：因为ax33x10恒成立，且x(0，1，所
8、以a，转化为求y在(0，1的最大值，由y0，解得x.易知x时取最大值4，所以a4.答案：4，)学生用书P113(单独成册)A基础达标1函数f(x)x33x1在闭区间3，0上的最大值和最小值分别是()A1，1B1，17C3，17 D9，19解析：选C.f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1.又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313，13，0，所以最大值为3，最小值为17.2函数f(x)x在区间0，)上()A有最大值，无最小值B有最大值，有最小值C无最大值，无最小值D无最大值，有最小值解析：选A.由已知得f(x)的定义域为0，)，f(x)，令f(x)0，得f(x)的单
9、调增区间为0，1)；令f(x)0，得f(x)的单调减区间为(1，)所以f(x)在区间0，)上有最大值，无最小值3函数f(x)在区间2，4上的最小值为()A0 B.C. D.解析：选C.f(x)，当x2，4时，f(x)0，即函数f(x)在x2，4上是单调递减函数，故当x4时，函数f(x)有最小值.4已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对解析：选A.因为f(x)6x212x6x(x2)，所以f(x)在(2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以当x0时，f(0)m最大，所以m3.因为f(2)37，f(2)
10、5，所以最小值为37.5函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a解析：选B.因为f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，所以x，又因为x(0，1)，所以01，即0a1，故选B.6当函数yx2cos x在上取得最大值时，x的值为_解析：y(x2cos x)12sin x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf.答案：7函数f(x)3xsin x在x0，上的最小值为_解析：f(x)3xln 3cos x.因为x0，时，3xln 31，1cos x1，所以f(x)0.所以f(
11、x)在x0，上递增，所以f(x)minf(0)1.答案：18若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是_解析：因为2x(xa)1，所以ax.令f(x)x，所以f(x)12xln 20，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)011，所以a的取值范围为(1，)答案：(1，)9已知函数f(x)x3ax22，x2是f(x)的一个极值点，求：(1)实数a的值；(2)f(x)在区间1，3上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)3x22ax，f(x)在x2处有极值，所以f(2)0，即344a0，所以a3.(2)由(1)知a3，所以f(x)x33x22，f(x)3x26x.令f(x)0
12、，得x10，x22.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，0)0(0，2)2(2，3)3f(x)00f(x)2222 从上表可知f(x)在区间1，3上的最大值是2，最小值是2.10已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x0，使ln f(x)ax成立，求实数a的取值范围解：(1)定义域为R，f(x)，当x0或x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0，所以f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(，0)，(2，)(2)f(x)(x0)，由ln f(x)ax，得a，设g(x)，则g(x)，所以当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0，所以g(x)在(0，
13、e)上递增，在(e，)上递减，g(x)maxg(e)1，所以a的取值范围是.B能力提升11已知函数f(x)、g(x)均为(a，b)上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)解析：选A.f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以函数f(x)g(x)在a，b上单调递减，所以f(x)g(x)的最大值为f(a)g(a)12若0x，则下列不等式正确的是()Asin xx Bsin xxCsin xx Dsin xx解析：选B.设f(x)sin xx，则f(x)cos x.设cos x0，则f(
14、x)在(0，x0)上单调递增，在上单调递减又f(0)0，f0，所以当0x时，f(x)0，所以sin xx，故A不正确，B正确当x时，sin xx，所以C，D都不正确13已知函数f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1.令f(x)0，得ln x10，解得0x0，得ln x10，解得x，所以f(x)的单调递增区间是.(2)因为g(x)3x22ax1，由题意得2xln x3x22ax1恒成立因为x0，所以aln xx
15、在x(0，)上恒成立设h(x)ln xx(x0)，则h(x).令h(x)0，得x11，x2(舍去)当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)h(x)0h(x)极大值故当x1时，h(x)取得最大值，且h(x)maxh(1)2，所以若ah(x)在x(0，)上恒成立，则ah(x)max2，即a2.故a的取值范围是2，)14(选做题)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln aln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，g(a)10，则g(a)在(0，)上单调递增，又g(1)0，于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)