1、32.2 函数的和、差、积、商的导数3.2导数的运算 高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷设一高铁走过的路程 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 sf(t)2t2，求它的瞬时速度，即求 f(t)的导数根据导数的定义，就是求当t0 时，st所趋近的那个定值，运算比较复杂而且，有的函数如 ysin xln x 等很难运用定义和直接利用公式求导数问题：是否有更简捷的方法求 ysin xln x 的导数呢？设两个函数分别为 f(x)和 g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x)_两个函数的差的导数f(x)g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)常数与函数的乘积的导数Cf(x)_(
2、C 为常数)两个函数的积的导数f(x)g(x)_两个函数的商的导数 fxgx _(g(x)0)Cf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；fxgxfxgx，避免与f(x)g(x)f(x)g(x)混淆利用求导法则直接求导数例 1 求下列函数的导数：(1)f(x)x13 4x2；(2)f(x)sin xcos x；(3)f(x)cos xx；(4)f(x)exsin x.精解详析(1)f(x)1324xx(x13)(4x2)13x23 8x32313x 8x3.(2)f(x)(sin xcos x)(sin x)
3、(cos x)cos xsin x.(3)f(x)cos xxcos xxxcos xx2xsin xcos xx2sin xx cos xx2.(4)f(x)(exsin x)(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos xex(sin xcos x)一点通 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，若运算过程中出现失误，其原因主要是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则另外，在求导过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一1求下列函数的导数：(1)yx53x35x26；(2)y(2x23)(3x2)；(3)yx1x1.解：(1)y(x53x35x2
4、6)(x5)(3x3)(5x2)65x49x210 x.(2)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)3(2x23)18x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(3)法一：yx1x1 x1x1x1x1x12x1x1x122x12.法二：yx1x1x12x1 1 2x1，y1 2x1 2x1 02x1x122x12.2求下列函数的导数：(1)f(x)x3cos x；(2)f(x)xln x；(3)f(x)xex.解：(1)f(x)3x2sin x；(2)f(x)xln xx(ln x)ln x1；(3)f(x)xexxexex2e
5、xxexe2x1xex.导数的简单应用例 2 已知 f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1，求 f(x)的解析式精解详析 由 f(x)为一次函数可知 f(x)为二次函数设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2axb.把 f(x)，f(x)代入方程 x2f(x)(2x1)f(x)1 中，得 x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.因为方程对任意 x 恒成立，则有 ab，b2c，c10，解得 a2，b2，c1，f(x)2x22x1.3设函数 f(x)aexbln x，且 f(1)e，f(1)1e，求 a，b 的值解：f(x)(aex)(
6、bln x)aexbx.f1e，f11e，aebe，aeb1e，解得a1，b0，所以 a，b 的值分别为 1,0.4偶函数 f(x)ax4bx3cx2dxe 的图像过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为 yx2，求 yf(x)的解析式解：由 f(x)是偶函数，易知 bd0，即f(x)ax4cx2e.则 f(x)4ax32cx.函数在 x1 处的切线方程为 yx2，4a2c1，切点坐标为(1，1)ace1.又函数 f(x)的图像过点 P(0,1)e1.由解得a52，c92，e1，故 f(x)52x492x21.导数的综合应用例 3 已知抛物线 C1：yx22x 和 C2：yx2a，如果直
7、线 l 同时是 C1 和 C2 的切线，那么称 l 是 C1和 C2的公切线当 a 取什么值时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程精解详析 函数 yx22x 的导数 y2x2.曲线 C1 在点 P(x1，x212x1)的切线方程是y(x212x1)(2x12)(xx1)，即 y(2x12)xx21，函数 yx2a 的导数 y2x，曲线 C2 在点 Q(x2，x22a)的切线方程是y(x22a)2x2(xx2)，即 y2x2xx22a，若直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则式和式都是 l 的方程，2x122x2，x21x22a.消去 x2 得2x212x11a0，当判别式
8、 442(1a)0，即 a12时，解得 x112，此时点 P 与 Q 重合即当 a12时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 yx14.5已知 P，Q 为抛物线 x22y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为_解析：如图，易知抛物线 y12x2 上的点P(4,8)，Q(2,2)，且 yx，则过点 P的切线方程为 y4x8，过点 Q 的切线方程为 y2x2，联立两个方程解得交点 A(1，4)，所以点 A 的纵坐标是4.答案：46设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120，求 f(x)的解析式解：方程 7x4y120 可化为 y74x3.点(2，f(2)既在曲线上，又在切线上，当 x2 时，y12.又 f(x)a bx2，于是有2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.对导数几何意义综合应用的几点认识(1)导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数在某点处的导数，即切线的斜率，注意与相关知识的结合，如函数、方程、不等式等(2)导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何的知识相联系课时跟踪训练(十八)
