1、2 导数的概念及其几何意义我们已经知道，函数的瞬时变化率可以刻画函数在某一点处变化的快慢，若f(x)x2，g(x)x3.(1)分别利用平均变化率估计f(x)和g(x)在x1时的瞬时变化率(2)比较f(x)与g(x)在x1时的瞬时变化率的大小，并说明其含义提示：(1)f(x)x2在x1处的瞬时变化率为2，g(x)x3在x1处的瞬时变化率为3.(2)在x1处g(x)的瞬时变化率比f(x)大，说明在x1处g(x)的变化比f(x)快1导数的概念函数 yf(x)在 xx0 处的_是函数 yf(x)在 xx0 点处的导数用符号_表示。瞬时变化率f(x0)函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(
2、x)在点P(x0，f(x0)处的切线的_，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是_相应地，切线方程为_2导数的几何意义斜率f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)(1)曲线的切线是用导数来定义的，是割线的极限位置(2)如图所示，尽管直线l1与yf(x)有两个交点，但l1也称为yf(x)在点A处的切线尽管直线l2与yf(x)仅有一个交点，但l2也不是yf(x)在B处的切线即切线与曲线交点个数无关，只是割线的极限位置(3)在曲线 yf(x)上一点 A 处的切线有且仅有一条，而割线可以有无数条1函数yx2在x1处的导数为()A2x B2xC2D1解析：yx2 在 x1 处
3、的导数为 f(1)2.答案：C2函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是()A在点x0处的函数值B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案：C3曲线y2x23x在点A(0,0)处的切线方程是_解析：f(0)3切线方程：y3x，即 3xy0.答案：3xy04求函数yx2axb(a、b为常数)在x1处的导数解析：y(1x)2a(1x)b(1ab)2x(x)2ax，所以yx2xx2axx2xa，故函数 yx2axb(a、b 为常数)在 x1 处的导数为 2a.求函数f(x)2x
4、24x在x3处的导数利用定义求导数思路导引 解答本题的关键是计算出yx，然后取极限边听边记 y2(3x)24(3x)(23243)2(x)216xyx2x216xx2x16f(3)16.1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a.解析：f(1)2a2.a1，即 a 的值为 1.利用导数求切线方程已知曲线 y13x3，求曲线在点 P(3,9)处的切线方程思路导引 先利用导数的定义求出切线斜率，再利用点斜式求出切线方程 在求切线方程的题目中，注意题干中给出的点不一定在曲线上，即使在曲线上的点也不一定作为切点应用2已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程解析：f(x0)4x0.由于
5、2327119，故点 P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k4x0，故所求的切线方程为 yy04x0(xx0)将 P(3,9)及 y02x207 代入上式，得9(2x207)4x0(3x0)解得 x02 或 x04.所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为 8xy150 或 16xy390.(12分)在曲线yx2上分别求一点P使得曲线在该点处的切线满足以下条件：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50.思路导引 先设出切点P的坐标为(x0，y0)，再利用导数的几何意义求得切线的斜率kf(x0)，求得x0值，从而得到P点坐标求切点坐
6、标规范解答 由 yx2，得 y(x0 x)2x202x0 x(x)2，yx2x0 x.3 分当 x 无限趋近于 0 时，2x0 x 无限趋近于 2x0，f(x0)2x0.6 分设 P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线 y4x5 平行，所以 2x04，x02，y04，即 P(2,4).9 分(2)因为切线与直线 2x6y50 垂直，所以 2x0131，得 x032，y094，即 P32，94.12 分 求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标3抛物线yx22在点P
7、处的切线与直线x6y50垂直，求P点的坐标和切线方程解析：设 P(x0，y0)yxx0 x22x202x2x0 x，当 x0 时，2x0 x 无限趋近于 2x0.切线与直线 x6y50 垂直，2x0161，得 x03，故 y011，即点 P(3,11)，由题意知切线的斜率为6，切线的方程为：6xy70.故切点坐标为 P(3,11)，切线方程为：6xy70.已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程【错解】y4x.y|x34312，故切线斜率为 12.由直线的点斜式方程得切线方程为 y912(x3)，即 12xy270.【错因】点P(3,9)不是切点(不在曲线上)，故切线斜率不是在x3处的导数【正解】ylimx0yxlimx02xx272x27xlimx0(4x2x)4x.由于 2327119，故点 P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k4x0，故所求的切线方程为 yy04x0(xx0)将 P(3,9)及 y02x207 代入上式，得9(2x207)4x0(3x0)解得 x02 或 x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为 8xy150 或 16xy390.课堂小结：1.导数的几何意义是什么？2.如何理解切点三用？3.切点横坐标有如何的三用？