1、第一章1.31.3.2A级基础巩固一、选择题1如果三个球的半径之比是123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(B)A倍B倍C2倍D3倍解析设小球半径为1，则大球的表面积S大36，S小S中20，.2若两球的体积之和是12，经过两球球心的截面圆周长之和为6，则两球的半径之差为(A)A1B2C3D4解析设两球的半径分别为R、r(Rr)，则由题意得，解得.故Rr1.3一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(A)ABCD解析由6a24R2得，3.4球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是(C)ABCD解析设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a24R2，a2R2，球的表面积S1
2、4R2，正方体的表面积 S26a26R28R2，S1S2.5(2019福建高三毕业自主检测)某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(B)AB4C12D326若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为(C)A4(rR)2B4r2R2C4RrD(Rr)2解析解法一：如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为D球4r4Rr.解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA、OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高由相似三角形的性质得OF2B
3、FAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.二、填空题7(2017天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.解析设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR3()3.8(2018莆田高一检测)已知两个球的表面积之比为116，则这两个球的半径之比为_14_.解析球的表面积公式为4R2，设两球半径分别为r1，r2，.三、解答题9体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小解析设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，
4、则S16a2，S24R2，S36r2.由题意知，R3a3r22r，Ra，ra，S2424a2a2，S3626a2a2，S23a2a2，即S1S3.S1、S2、S3的大小关系是S2S3S1.10某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解析该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Vr3r2l13123.B级素养提升一、选择题1用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(B)解析选项D为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2(2018全国卷文，5)
5、 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A12B12C8D10解析根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S2()22212，故选B.3一个球与一个上、下底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是(B)A96B48C24D16解析由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球r3解得r2
6、.S底aar3，得a2r4，所以V柱S底2r48.4已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(C)ABCD解析由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，V(11)1()3，故选C.二、填空题5一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_16_.解析该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为(422)216.6(2018天津理，11)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E
7、，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_.解析由题意可得，底面四边形EFGH为边长为的正方形，其面积SEFGH2，顶点M到底面四边形EFGH的距离为d，由四棱锥的体积公式可得：VMEFGH.7一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_3_.解析如图所示，设正四面体ABCD的高为AO1，球的球心为O，半径为R，则O1BBC.在RtAO1B中，AO1.在RtOO1B中，O1O2R2()2R2.AO1R，解得R，S球4()23.三、解答题8盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解析设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球2()3(cm3)，此体积即等于它们的容器中排开水的体积V52h，所以52h，所以h，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.9已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径解析如图，设SO1是四面体SABC的高，则外接球的球心O在SO1上设外接球半径为R.四面体的棱长为a，O1为正ABC中心，AO1aa，SO1a，在RtOO1A中，R2AOOOAO(SO1R)2，即R2(a)2(aR)2，解得Ra，所求外接球体积V球R3a3.OO1即为内切球的半径，OO1aaa，内切球的半径为a.