1、廷锴纪念中学高二第二学期理科数学综合训练（3）班别： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1复数的虚部（ ）2函数在上（ ）A有最小值，无最大值 B有最大值0，最小值C有最大值0，无最小值 D既无最大值也无最小值3（ ）A B C D4排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生的概率是（ ）A B C D5某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ）A12 B16 C24 D326. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）ABCD7若函数，且是函数的导函数，则 （ ）A2
2、4 B24 C10 D108. 设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9曲线在点的切线方程是 . 10设XB(10,0.8)，则E(2X2)等于 115男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有 种不同的方法. 12某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：x2468y7131826则回归直线方程是 .13若，则的值为 ；239被7除的余数是_14.如果10 N的力能使弹簧
3、压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为_15设函数，其中，且，给出下列三个结论：函数在区间（）内不存在零点；函数在区间（）内存在唯一零点；设为函数在区间（）内的零点，则。其中所有正确结论的序号为_。三、解答题（本大题共80分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（ 12分） ）在复平面上，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为12i，35i.，103i；求点D对应的复数；）已知为复数，为纯虚数，17.（12分）用数学归纳法证明：18(14分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件
4、数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？19 （14分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： 1）获赔的概率；2）获赔金额的分布列与期望20.已知函数f(x)x3ax2x1，aR. (1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在
5、区间内是减函数，求a的取值范围21.（14分）已知函数 证明：当时，；若函数（是常数）在区间上有零点，求的取值范围廷锴纪念中学高二第二学期理科数学综合训练（3）答案BBCD CAAD 9.x-ey-e=0 10. 10 11. 604812. 13. 1 ,1 14. 0.18 J 15. 详细答案：4.(1) 排1张有5个独唱和3个合唱的节目表,共有8!种,即 40320种方法(2) 先排三个合唱,有 3!种方法,再在这中间用独唱节目插空,有4个空(空 X 空 X 空 X 空)和5个节目,故首先从5个中先挑2个捆绑并排列,有 (5!/3!) 种方法,再把独唱节目插入4个空中,有 4!种方法.
6、综上,满足题意的排法有 (3!)*(5!/3!)*(4!)种,即 2880种 (3)所以,P=2880/40320=1/14种方法5.将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A33=6；根据分步计数可得共有46=24故选C7.f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5），f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）+（x-1）则f（1）=（1-2）（1-3）（1-4）（1-5）=24故选A8.解：因为要满足题意中恒成立，对于
7、任意的0k1,则记实数a的取值范围为集合M，则有，选D11.男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而有=9876=3024种。 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。三、解答题16解：设D(x，y)，A，B，C，D对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，则A(1，2)；B(，)；（，）;在平行四边形ABCD中， （x-1,y-2），=(7,2)， （x-1,y-2）=(7,2)2) 设，则=为纯虚数，所以，因为，所以；又。解得 所以18解(1)设每星期多卖的商品件数与商品单价的降低值x的平方成正比的比例系数为k.商品单价降低2元时，一星
8、期多卖出24件，k6.当降低值为x时，销售量为(4326x2)件，每件的销售利润是(309x)(21x)元每星期的销售利润w(x)(21x)(4326x2)，w(x)6x3126x2432x9 072(0x30)(2)w(x)18x2252x432，令w(x)0，得x12，x212.w(x)的单调性如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30w(x)00w(x)极小值极大值由表易知x12时，函数有唯一极值，且是极大值，则是最大值。当定价为301218元时，商品销售利润最大19.解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，由题意知，独立，且，（）该单位一年内获赔的概率为（）的所有可能值为，综上知，
9、的分布列为由的分布列得（元） 答：20.解(1)f(x)x3ax2x1，f(x)3x22ax1，当(2a)2344a2120，即a时，f(x)0恒成立，此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(，)当(2a)2344a2120，即a或a时，函数f(x)存在实数解此时当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减此时函数的单调增区间为：，；单调递减区间为；故当a ，f(x)在R上为增函数；若a或a函数f(x)单调递增区间为，；函数f(x)单调递减区间为(2)若函数在区间内是减函数，则说明f(x)3x22ax10两根在区间外，因此f0，且f0，
10、由此可以解得a2.因此a的取值范围是=(n-1)-( =.10分 () 在x上的最小值为且=在x上没有零点，补充题（本小题满分12分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中，一天之内各部件需要调整的概率分别为0.1、0.2、0.3，假设各部件的状态相互独立。（以下结果均用小数表示）（）求一天之内恰有一个部件需要调整的概率；（）求一天之内至少有两个部件需要调整的概率；（）用表示一天之内需要调整的部件数，求的数学期望 。20解：用Ai表示事件：一天之内第i个部件需要调整（i=1、2、3），则，用表示一天之内需要调整的部件数，则（）3分（） 6分（）.9分的分布列为0123P0.5040.3980.0
11、920.00612分已知函数. (1) 当时，求函数的单调区间和极值；(2) 若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.19.解：解：(1) 易知，函数的定义域为. 当时，.当x变化时，和的值的变化情况如下表：x（0,1）1（1，+）-0+递减极小值递增由上表可知，函数的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+）、极小值是6分 (2) 由，得.又若函数为上单调调函数， 则在上恒成立，即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.又在上为减函数，. 所以.12分19（ 14分）已知数列为其前n项和，计算得,观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明19解：推测.2分证明：i) 略.
12、3分ii) 假设n=k(kN)时等式成立，即，4分则 即 n=k+1时，等式成立11分由i), ii) 可知，对一切nN，等式均成立12分19（ 14 分） 随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列和数学期望；（2）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？19. 解：(1)的所有可能取值有6，2，1，-2； 的
13、分布列为：621-20.630.250.10.0210分（2）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为，即，解得，三等品率最多为16分20.(16分) 已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，； 若，且，则有（1）求的值；（2）试求的最大值；（3）设数列的前项和为，且满足， 求证：20. 1）令，则，又由题意，有 3分 （2）任取 且，则0 故函数在上是单调增函数6分 的最大值为 8分 （3）由 又由 数列为首项为1，公比为的等比数列， 10分 当时，不等式成立， 当时， ， 不等式成立 假设时，不等式成立 即 则当时 即 时，不等式成立故 对 ，原不等式成立。16分10i为虚单位，把按二项式定理展开，展开式的第项的系数是 9.复数（i是虚数单位）则复数的虚部等于 14. 若，则 _.16已知函数满足：，则 。10. 函数的一个单调递增区间是（ ）(A) (B) (C) (D) 15.将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 .