1、5.4.3 正切函数的性质与图象 1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进行扩展，即得到整个定义域内的图象.通过平移正弦线得到正弦函数在 的图象,再通过诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象.0,2 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.这些性质是通过研究其图象得到的.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.掌握正切函数的性质及其应用；（重点）3.能用正
2、切函数的图象解最简三角不等式.（难点）4.会用正切函数的性质研究正切函数的图象 1.通过正切函数图象的运用，培养直观想象的核心素养 2.通过正切函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？因为 f(x)tan(x)tan xf(x),所以y=tanx是周期函数,最小正周期是.微课1 正切函数的性质提示:提示:思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？由诱导公式 知 tan(x)tan x,xR,xk,k
3、2 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.提示:思考4：观察图中的正切线，当 角在 内增加时，正切 函数值发生什么变化？由此反 映出一个什么性质？T1 xyA T2 O函数值先由-0再由0+；正切函数在 内是增函数.2 2（-,）提示:思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？正切函数在开区间 内都是增函数 思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？不是 不会 提示:提示:思考7：当x大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当x小于 且无限接近 时,正切值又如何变化？由此分 析，正切函数的值域是什么?T1 OxyA T2 O当 大于 且无限接近 时
4、,正切 线AT向y轴的负方向无限延伸；22x当 小于 且无限接近 时正切线 AT向y轴的正方向无限延伸.22x 在(，)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值.22tan x正切函数的值域是R提示:正切函数的性质1.定义域：x|xk,k.2 2.值域：R3.周期性：正切函数是周期函数，周期为 .5.单调性：正切函数在开区间 内都是增函数.(k,k),k22 4.奇偶性：正切函数是奇函数，图象关于原点对称.f(x)tan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数A【即时训练】微课2 正切函数的图象 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线 作正切函数 的图象，具体应 如何操作
5、？284838483xy作法:(1)等分(2)作正切线，平移(3)连线 1oO作正切函数的图象：正切曲线 O32 正切曲线是由被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.x=k,k2 Z函数 y=3cos（25 x6）的最小正周期是()A.2 5 B.5 2 C.2 D.5 D【即时训练】例1.求函数 的定义域、周期和单调区间.ytan(x)23【解析】函数的自变量x应满足xk,k,232 即1x2k,k.3所以，函数的定义域是1x|x2k,k.3由于 f(x)tan(x)tan(x)2323 tan223x2,f x因此函数的周期为2.由kxk,k2232 解得512kx2k,k.33 因此
6、，函数的单调递增区间是51(2k,2k),k.33 掌握正切函数的性质是解决此类问题的关键求函数 ytan3x3 的定义域，并指出它的单调性【变式练习】【解题关键】把 3x3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决【解析】要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x3k2(kZ)，得 xk3 518(kZ)，函数的定义域为xxk3 518，kZ.令 k23x3k2(kZ)，即k3 18xk3 518(kZ)函数的单调递增区间为k3 18，k3 518(kZ)，不存在单调递减区间90167173180 ，例2.比较下列每组数的大小.tan()yx在，上是增函数，2tan167tan
7、173.所以【解析】(1)tan167 与tan173.11(2)tan()4 与13tan().5(1)因为 说明：比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到y=tan x的同一单调区间内,再利用y=tan x的单调性解决.11tan()tan,44 132tan()tan.55 20,452 2tantan45 所以1113tan()tan().45所以(2)因为，y=tan x(0,)2又在上是增函数，不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“”连接起来(1)tan32_tan215.(2)tan185 _tan289.【变式练习】【解析】(1)tan215tan(18035)t
8、an35，ytanx 在(90，90)上单调递增，90323590，tan32tan35，即 tan32tan215.(2)tan185 tan425 tan25，tan289tan39 tan9，而225 92，ytanx 在2，2 上单调递增，tan25 tan9，tan185 tan289.【方法规律】运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系 【互动探究】比较 tan134 与 tan125 的大小【解析】tan134 tan134 4tan134 164 tan 34，tan125 tan125 3tan125 155
9、tan 35.ytan x 在2，内单调递增，且235340)相交，则相邻两交点间的距离是()A B.2C.D与 a 的值有关C 5.函数 y3tanx1 的定义域是_ xx2k，kZ5.比较下列各数大小：（1）tan2 与 tan9；（2）tan1 与 tan 4.【解析】（1）tan9=tan（2+9），因为2 22+9，而 y=tanx 在（2，）内是增函数，所以 tan2tan（2+9），即 tan2tan9.（2）tan4=tan（4-），又04-12，而 y=tanx 在（0，2）内是增函数.tan（4-）tan1，tan4tan1.不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.张衡