1、1.2.2同角三角函数的基本关系考试标准课标要点学考要求高考要求同角三角函数的基本关系bb同角三角函数关系的应用bb知识导图学法指导1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆2理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.同角三角函数的基本关系式(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23cos231等(2)注意公式成立的条件(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用(4)在应用平方关系式求sin
2、或cos时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)sin2cos21.()(2)sin 2cos 21.()(3)对于任意角都有sin2cos21，tan .()答案：(1)(2)(3)2若为第二象限角，且sin ，则cos ()AB.C. D解析：是第二象限角，cos .答案：A3已知tan ，且，则sin 的值是()AB.C. D解析：(，)，sin 0，且sin 1，所以是第一或第二象限角当为第一象限角时，cos ，tan ；当为第二象限角时，cos ，tan .(2)分子、分母同除以cos2，得.又tan 3，所
3、以.(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2，把正弦、余弦化成正切方法归纳求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值跟踪训练1(1)本例(2)条件变为2，求的值；(2)本例(2)条件不变，求4sin23sin cos 5cos2的值解析：(1)法一：由2，化简得sin 3cos ，原式.法二：由2得tan
4、 3，原式.(2)原式.形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tan的代数式，从而代入求值类型二化简三角函数式例2化简：(1)；(2) .【解析】(1)2tan2.(2)1.(1)利用同角基本关系化简(2)注意1的活用例如12sin 10 cos 10 sin210 cos210 2sin210 cos 10 (cos 10 sin 10 )2方法归纳三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于
5、化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低次数，达到化简的目的跟踪训练2(1)化简：；(2)化简：sin2tan 2sin cos .解析：(1)原式1.(2)原式sin22sin cos cos2.(1)1sin2130 cos2130 ，12sin 130 cos 130 (sin 130 cos 130 )2.(2)式子中的tan应化为，如果出现分式，一般应通分类型三利用同角三角函数关系证明例3求证：.【证明】因为左边右边，所以等式成立.左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形方
6、法归纳证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则(2)证明左右两边等于同一个式子(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪训练3求证：.证明：方法一因为右边分母为cos ，故可将左边分子分母同乘以cos .左边右边方法二因为左边分母是1sin ，故可将右边分子分母同乘以1sin .右边左边方法三只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同因为左边，右边，所以左边右边，原式成立方法四只需证明左边右边0即可因为0，所以.方法五为了消去左、右两边的差异，在左边的分子上凑
7、出1sin .左边右边方法六证明内项积等于外项积因为(1sin )(1sin )1sin2cos2，1sin 0，cos 0，所以.方法七利用分析法逐步寻求等式成立的条件要证成立，只需证cos cos (1sin )(1sin )，即证cos21sin2，此式成立，故成立三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明，可证adbc或证等；(5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“1 ”类型四sin cos
8、型求值例4已知sin cos ，其中0，求sin cos 的值【解析】因为sin cos ，所以(sin cos )2，可得：sin cos .因为0，且sin cos 0，cos 0，又(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .sincos,两边平方求出2sincos 的值求sincos 的值方法归纳已知sin cos 的求值问题的方法对于已知sin cos 的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：(1)用sin 表示cos (或用cos 表示sin )，代入sin2cos21，根据角的终边所在的象限解二次方程得sin 的值(或cos 的值)，再求其
9、他，如tan (体现方程思想)(2)利用sin cos 的平方及sin2cos21，先求出sin cos 的值，然后求出sin cos 的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sin ，cos 的值，再求其他跟踪训练4已知x是第三象限角，且cos xsin x.(1)求cos xsin x的值；(2)求2sin2xsin xcos xcos2x的值解析：(1)(cos xsin x)212sin xcos x，所以2sin xcos x，所以(cos xsin x)212sin xcos x，因为x是第三象限角，所以cos xsin x0，所以cos xsin x.(2)由解得cos x，s
10、in x，所以2sin2xsin xcos xcos2x2.(1)把cosxsinx平方(2)注意x的范围(3)分别求出sinx、cosx1.2.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列四个命题中可能成立的一个是()Asin 且cos Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1Dtan (在第二象限)解析：由同角三角函数基本关系式，知A，C，D不可能成立，B可能成立答案：B2已知是第二象限角，且cos ，则tan 的值是()A. BC. D解析：为第二象限角，sin ，tan .答案：D3已知cos sin ，则sin cos 的值为()A. BC D解析：
11、由已知得(cos sin )2sin2cos22sin cos 12sin cos ，所以sin cos .答案：A4化简(1cos )的结果是()Asin Bcos C1sin D1cos 解析：(1cos )(1cos )sin .答案：A5已知|sin |，且5，则tan 的值是()A. B2C D2解析：因为0，则cos _.解析：由已知得是第三象限角，所以cos .答案：7已知sin cos ，则sin cos _.解析：因为(sin cos )212sin cos 120，所以sin cos 0.答案：08已知2，则sin cos 的值为_解析：由2，得2，tan 3，sin co
12、s .答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知tan 3，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)sin2cos2.解析：(1)tan 3，cos 0.原式的分子、分母同除以cos ，得原式.(2)原式的分子、分母同除以cos2，得原式.(3)原式.10证明：1.证明：1.能力提升(20分钟，40分)11设A是ABC的一个内角，且sin Acos A，则这个三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：将sin Acos A两边平方得sin2A2sin Acos Acos2A，又sin2Acos2A1，故sin Acos A.因为0A0，则cos A0，即A是
13、钝角答案：B12化简sin2cos4sin2cos2的结果是_解析：原式sin2cos2(cos2sin2)sin2cos21.答案：113化简： (为第二象限角)解析：是第二象限角，cos 0.则原式 tan .14已知x0，sin xcos x，求下列各式的值(1)sin xcos x；(2).解析：(1)sin xcos x，(sin xcos x)22，即12sin xcos x，2sin xcos x.(sin xcos x)2sin2x2sin xcos xcos2x12sin xcos x1，又x0，sin x0，sin xcos x0，sin xcos x.(2)由已知条件及(1)，可知，解得，.