1、第 2 课时 指数函数的图象与性质的应用学 习 任 务核 心 素 养1能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题(重点、难点)2能应用指数函数及其性质解决实际应用题(难点)1借助指数函数的定义域、值域的求法，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养2通过指数函数研究实际问题提升数学建模素养.请画出 y2x，y12x图象，归纳出函数 yax，yax 的图象与它们具有哪些相同的特征？知识点 指数型函数形如 ykax(kR，且 k0，a0 且 a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到
2、 y，则 yN(1p)x(xN)李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款 a 万元，银行贷款利率为月息 p，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年 9 月 1 日一次性还款时，连本带利共需要还款金额为_万元a(1p)20 一个月后 a(1p)，二个月后 a(1p)(1p)a(1p)2，今年 9 月 1 日还款时共 20 个月，则连本带利共需要还款金额为 a(1p)20 万元类型 1 求函数的定义域、值域【例 1】求下列函数的定义域和值域：(1)y2；(2)y 12x；(3)y12x22x3；(4)y4x2x23.解(1)由 x40，得 x4，故 y2的定义域为
3、x|x4又 1x40，即 21，故 y2的值域为y|y0，且 y1(2)由 12x0，得 2x1，x0，y 12x的定义域为(，0由 02x1，得12x0，012x0，故函数 y12x22x3的值域为(0,16(4)函数 y4x2x23 的定义域为 R.设 t2x，则 t0.所以 yt24t3(t2)27，t0.因为函数 yt24t3(t2)27 在(0，)为增函数，所以 y3，即函数的值域为(3，)1若将本例(2)中函数换为 y13x1，求其定义域解 由13x10 得13x130，x0 即函数的定义域为(，02若将本例(4)增加条件“0 x2”再求函数的值域解 由于 x0,2则 2xt1,4
4、，所以 yt24t3(t2)27.t1,4，函数 yt24t3(t2)27 在1,4为增函数故 y2,291对于 yaf(x)这类函数(1)定义域是指使 f(x)有意义的 x 的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出 uf(x)的值域；利用指数函数 yau 的单调性或利用图象求得函数的值域2对于 ym(ax)2n(ax)p(m0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解跟进训练1(1)函数 f(x)12x1x3的定义域为_(2)求函数 y4x21x1 在 x3,2上的最大值和最小值(1)(3,0 由12x0，x30，得3x0.所以函数的定义域是(3,0(2)解 y4x21
5、x1122x212x112x12，x3,2，12x14，8，令 t12x，得 y(t1)2，其中 t14，8，y0,49，即最大值为 49，最小值为 0.类型 2 指数型函数的应用题【例 2】某市现有人口总数为 100 万人，如果年平均增长率为 1.2%，试解答下列问题：(1)试写出 x 年后该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)之间的函数关系式；(2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 1 万人)(参考数据：1.012101.127)思路点拨 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为 N，年平均增长率为 p，则对于 x 年后的人口总数 y，可以用 yN(1p)x 表示解(1)1
6、年后城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)2 年后城市人口总数为：y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，同理 3 年后城市人口总数为 y100(11.2%)3，故 x 年后的城市人口总数为 y100(11.2%)x.(2)10 年后该城市人口总数为：y100(11.2%)101001.012101001.127113(万人)故 10 年后该城市人口总数约为 113 万人解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)
7、对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答跟进训练2某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食，求出 y 关于 x 的函数解析式解 设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克经过 1 年后，该乡镇粮食总产量为 360M(14%)千克，人口数量为 M(11.2%)则人均占有粮食为360M14%M11.2%千克，经过 2 年后，人均占有粮食为360M14%2M11.2%2 千克，经过 x
8、 年后，人均占有粮食为y360M14%xM11.2%x 千克，即所求函数解析式为y3601.041.012x(xN*)类型 3 指数函数性质的综合应用【例 3】已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数(1)求 a，b 的值；(2)若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围；(3)求 f(x)在1,2上的值域思路点拨(1)根据奇函数的定义，求出 a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉“f”解不等式求 k 的范围(3)利用(2)中单调性求 f(x)的值域解(1)函数 yf(x)是定义域 R 上的奇函数，f00，f1f1，1b2a 0，21b2
9、0a 21b22a，b1，a2.(2)由(1)知 f(x)12x22x11212x1，设 x1，x2R 且 x1x2，则 f(x2)f(x1)12x2112x112x12x22x212x110，f(x)在定义域 R 上为减函数，由 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，可得 f(t22t)k2t2，3t22tk0 恒成立，(2)212k0，解得 k0，函数 f(x)4xa a4x是定义域为 R 的偶函数(1)求实数 a 的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数解(1)由 f(x)f(x)得4xaa4x4xa a4x，即 4x1aa 14xa1a 0，所以4x14x 1aa 0，根据题意
10、，可得1aa0，又 a0，所以 a1.(2)证明：由(1)可知 f(x)4x14x，设任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，则f(x1)f(x2)4x1 14x14x2 14x2(4x14x2)114x1x2.因为 0 x1x2，所以 4 x14x2，所以 4 x14x20，所以 4x1x21，所以 114x1x24x1x214x1x2 0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)于是知 f(x)在(0，)上是增函数类型 4 复合函数的单调性【例 4】判断 f(x)13x22x的单调性，并求其值域y13x与 yx22x 的单调性分别如何？提示 y13x单调递减yx22x 在(
11、，1上单调递减，在1，)上单调递增解 令 ux22x，则原函数变为 y13u.ux22x(x1)21 在(，1上递减，在1，)上递增，又y13u在(，)上递减，y13x22x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，y13u，u1，)，00，且 a1)，它由两个函数 yau，uf(x)复合而成其单调性由两点决定，一是底数 a1 还是 0a0，5x0.2已知函数 f(x)12|x|，则 f(x)的值域为()A(0,1B(1,2C(0，)D(，0)A 因为 f(x)12|x|12x，x012x，x0所以其图象由 y12x(x0)和 y2x(x200，化简得(n2 016)lg1.12lg 2lg 1.3，即 n2 0160.300.110.053.8，取 n2 020，即开始超过 200 万元的年份为 2020 年5已知函数 y13x在2，1上的最小值是 m，最大值为 n，则 mn的值为_12 y13x在 R 上为减函数，m1313，n1329，mn12.回顾本节知识，自我完成以下问题1怎样比较两个指数式值的大小？提示 比较形如 am 与 an 的大小应用指数型函数 yax 的单调性比较形如 am 与 bn 的大小一般找一个“中间值 c”，若 amc 且 cbn，则amc 且 cbn 则 ambn.2复合函数的单调性遵循什么原则？提示 同增异减