1、12空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1.2.3空间几何体的直观图知识导图学法指导1.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，这是画空间几何体的直观图的基础2会用斜二测画法画出简单几何体的直观图3充分利用直观图的作图规则，顺利实现实物图与直观图之间的转化高考导航掌握直观图的画法是学好立体几何的基础，必须熟练、准确地掌握常见几何体的直观图的画法学习过程中要重点把握直观图与原图形之间的关系.知识点一用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点二立体图形直观图的画法用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多
2、了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其平行性和长度都不变1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45 (或135 )小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变(
3、)答案：(1)(2)2水平放置的梯形的直观图是()A梯形B矩形C三角形 D任意四边形解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.答案：A3利用斜二测画法可以得到：水平放置的三角形的直观图是三角形；水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；水平放置的正方形的直观图是正方形；水平放置的菱形的直观图是菱形以上结论正确的是()A BC D解析：根据斜二测画法的规则可知正确；对于，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确答案：A4如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形解析：如图，在原图形OABC中，应有
4、OD2OD224(cm)，CDCD2 cm，所以OC6 (cm)，所以OAOC，故四边形OABC是菱形，故选C.答案：C类型一水平放置的平面图形的直观图的画法例1画一个锐角为45的平行四边形ABCD的直观图(尺寸自定)【解析】(1)画轴：ABCD如图1所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，再建立斜坐标系xOy，使xOy45，如图2.(2)描点：在x轴上以点O为中点，取BABA，在y轴上取ODOD，过D作DCx轴，且DCDC，如图2.(3)连线：连接BC，AD，如图2.(4)成图：四边形ABCD即为一个锐角是45的平行四边形ABCD的直观图.以直线AB为x轴，
5、线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，再建立斜坐标系x O y ，利用斜二测画法画直观图方法归纳在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线跟踪训练1画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示解析：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取
6、点C使得DCDC.连接BC，如图.(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.观察图形先以OB为x轴，OD为y轴建平面直角坐标系，再用斜二测画直观图类型二立体图形的直观图的画法例2画正六棱柱ABCDEFABCDEF的直观图(尺寸自定)【解析】如图(1)画轴画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.画底面以点O为中点，在x轴上取FOOC，在y轴上取OMONFO，分别过点M，N作EDFO，ABFO，EDABFO，且M，N分别为DE，AB的中点连接BC，CD，EF，FA，得到正六棱柱的底面直观图ABCDEF.画侧棱在六边形ABCDEF所在平面的同侧过点A，B，C，
7、D，E，F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF都等于侧棱长成图顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示.建立坐标系，根据画轴、画底面、画侧棱的顺序画直观图方法归纳(1)画柱体、锥体的直观图的步骤画轴：通常以高所在直线为z轴建系画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点连线成图(2)画台体的直观图的步骤画轴：通常以高所在直线为z轴建系画下底面画高，画上底面连线成图跟踪训练2用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面AB
8、CDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)解析：(1)画出六棱锥PABCDEF的底面在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1)，画相应的x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90(如图(2)；在图(2)中，以O为中点，在x轴上取ADAD，在y轴上取MNMN，以点N为中点，画BCx轴，且BCBC，再以M为中点，画EFx轴，且EFEF；连接AB，CD，DE，FA，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.(2)画正六棱锥PABCDEF的顶点在z轴的正半轴上取点P，点P异于点O.(3)成图
9、连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和z轴，将被遮挡的线改为虚线，便可得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF(如图(3)建立坐标系，根据画底面、确定顶点、连线的顺序画直观图类型三直观图与原平面图形的面积关系例3如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CDAO1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求水平放置的梯形ABCD的直观图的面积【解析】方法一在梯形ABCD中，AB2，高OD1，水平放置的梯形ABCD的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作DEAB于E，如图所示，在直观图中，ODOD，梯形ABCD的高DE，于是梯形ABCD的面积为(12)
10、.方法二因为梯形ABCD的面积为，所以直观图的面积为.研究直观图的面积问题时，一定要注意：画三角形的直观图时，不仅是y 轴上的线段长度变为原来的一半，同时，y 轴与x 轴的夹角也变为45 (或135 )，因此直观图中三角形的高不是原来高的一半方法归纳(1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍(2)求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出
11、直观图中的高线即可跟踪训练3已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，BAC90，则ABC的面积为_解析：BAC90，BOCO1，AO1，ABC的高为2，ABC的面积为222.答案：2由斜二测画直观图，还原原图再计算基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是()A原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变B原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的C在画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy必须是45D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：在画与直角
12、坐标系xOy对应的xOy时，xOy可以是45，也可以是135.答案：C22019山东日照校级检测在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段()A平行且相等 B平行不相等C相等不平行 D既不平行也不相等解析：在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等答案：A3如图所示的直观图的平面图形是()A等腰梯形B直角梯形C任意四边形D平行四边形解析：由斜二测画法知，ABAD，BCAD，因此具有如图所示直观图的平面图形是直角梯形答案：B4已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是()A16 B64C
13、16或64 D以上都不对解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y轴，则正方形的边长为8，面积为64.答案：C5若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在xOy平面上，则该圆柱的高应画成()A平行于z轴且长度为10 cmB平行于z轴且长度为5 cmC与z轴成45且长度为10 cmD与z轴成45且长度为5 cm解析：平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直
14、观图ABC的面积为_解析：如图，图，图所示的分别是实际图形和直观图从图可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin45.所以SABCABCD2.答案：7.一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，ABC45，ABAD1，DCBC，则这个平面图形的面积为_解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1，高为2，故面积为22.答案：8一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是_解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9
15、将图中所给水平放置的直观图绘出原形解析：10画棱长为2 cm的正方体的直观图解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD45，AB2 cm，AD1 cm.(2)过点A作z轴，使BAz90，分别过点A，B，C，D，沿z轴的正方向取AA1BB1CC1DD12 cm.(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图就是所求的正方体的直观图能力提升(20分钟，40分)11已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m如果按150
16、0的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm，1.6 cm.答案：C12.如图为ABO水平放置的直观图ABO，由图判断ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是_解析：由题图可
17、知，ABO中，OD2，BD4，AB，BO2.答案：ODBDABBO13用斜二测画法画出图中水平放置的OAB的直观图解析：(1)在已知图中，以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O，画出相应的x轴、y轴，使xOy45.(2)在x轴上取点B，M，使OBOB，OMOM，过点M作MAy轴，取MAMA.连接OA，BA，如图2.(3)擦去辅助线，则OAB为水平放置的OAB的直观图14一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图解析：(1)画轴如图(1)所示，画x轴、z轴，使xOz90.(2)画圆柱的下底面在x轴上取A、B两点，使AB3 cm，且OAOB，选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面(3)在Oz上截取点O，使OO4 cm，过点O作平行于Ox的Ox，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面(4)画圆锥的顶点在Oz上取点P，使PO3 cm.(5)成图连线AA，BB，PA，PB，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图，如图(2)所示
