1、5.4函数的奇偶性学 习 任 务核 心 素 养1了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征2会判断函数的奇偶性(重点)3掌握函数奇偶性的运用(难点)1借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养2借助函数奇、偶性的判断方法，培养逻辑推理素养.日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑并让学生自己列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？知识点1奇函数与偶函数的概念(1)偶函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有xA，并且f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数(2)奇函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有xA，并且f(x)f
2、(x)，那么称函数yf(x)是奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示定义域关于原点对称1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x的图象关于(0,0)对称()(2)偶函数的图象一定与y轴相交()(3)若对函数f(x)有f(1)f(1)，则f(x)为偶函数()(4)奇函数的图象一定过(0,0)()答案(1)(2)(3)(4)知识点2奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数2.下列图象表示的函数具有
3、奇偶性的是() ABCDBB选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性 类型1函数奇偶性的判断【例1】(1)若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)为_函数(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)(2)判断下列函数的奇偶性f(x)；f(x)ln(1x)；f(x)；f(x).思路点拨(1)观察图象的对称性(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(x)的关系(1)偶因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数(2)解因为函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数定义域要求所以1x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)
4、是非奇非偶函数由得x2，2，定义域关于原点对称，且f(2)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数由 得 所以函数的定义域为1,0)(0,1此时f(x)，x1,0)(0,1，所以f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用于选择题中跟进训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数的定义域为R，关于原点对称又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，因此函数f(x)是奇函数(2)由得x21，即x1.因此函数的
5、定义域为1,1，关于原点对称又f(1)f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称f(x)即f(x)于是有f(x)f(x)所以f(x)为奇函数 类型2奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示(
6、2)由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5)(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解(1)如图所示(2)由(1)可知，使函数值y0时，f(x)x1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，求函数f(x)，g(x)的解析式解(1)设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)x1.又x0时，f(0)0，所以f(x)(2)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)由f(x)g(x)，用x代替x得f(x)g(x)，f(x)g(x)
7、，()2，得f(x)；()2，得g(x).把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式解f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，又f(x)g(x)，用x代替上式中的x，得f(x)g(x)，即f(x)g(x).联立得f(x)，g(x).利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f
8、(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0.跟进训练3(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)x(1x)，求f(x)；(2)若函数f(x)x2(m1)x3(xR)是偶函数，求m的值解(1)f(x)为R上的奇函数，f(0)f(0)，f(0)0.当x(0，)时，x(，0)，f(x)x(1x)f(x)为R上的奇函数，f(x)x(1x)，f(x)x(1x)综上可知，f(x)(2)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即x2(m1)x3x2(m1)x3，2(m1)x0.xR，m10，得m1. 类型4奇偶函数的单调性【例4】已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(1,1)，且在0,1)上为增函
9、数若f(a2)f(32a)0，试求a的取值范围1若f(x)为奇函数，f(32a)与f(2a3)有何关系？提示f(32a)f(2a3)f(2a3)2f(a2)f(32a)0怎样转化和求解？提示由f(a2)f(32a)0得f(a2)f(32a)f(2a3)，利用单调性求解，注意定义域解f(a2)f(32a)0，f(a2)f(32a)f(x)为奇函数，f(32a)f(2a3)，f(a2)f(2a3)f(x)在0,1)上为增函数，f(x)在(1,1)上单调递增，解得1a2.1函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相同的
10、单调性(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相反的单调性2利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟进训练4已知定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解因为f(x)在区间2,2上为奇函数，且在区间0,2上是减函数，所以f(x
11、)在2,2上为减函数又f(1m)f(m)，所以即解得1m.故实数m的取值范围是1mf(2)Bf(1)f(2)，故选A.3定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b|D0ab0Cf(x)是R上的偶函数，且在0，)上是增函数，由f(a)f(b)可得|a|b|.4设f(x)是定义在(，)上的偶函数，且当x0时，f(x)x31，则当x0时，f(x)_.x31当x0，f(x)(x)31x31，f(x)f(x)，f(x)x31.5奇函数f(x)在区间0，)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为_(，1，1，)奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(，1，1，)回顾本节知识，自我完成以下问题1判断函数奇偶性的主要依据是什么？提示函数奇偶性的定义2奇函数在对称区间上的单调性有怎样的关系？偶函数呢？提示相同，相反