1、 训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用训练题型(1)求离心率的值或范围；(2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何性质综合应用解题策略(1)利用定义 PF1PF22a 找等量关系；(2)利用 a2b2c2 及离心率eca找等量关系；(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.1设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为_2(2016唐山统考)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，若 F 关于直线 3xy0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为_3椭圆
2、x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，左，右焦点分别是 F1，F2，B 是短轴的一个端点，若 3BF1 BA2BF2，则椭圆的离心率为_4如图，椭圆x2a2y221 的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若 PF14，F1PF2120，则 a 的值为_5(2016镇江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆x225y291 上，点 P满足AP(1)OA(R)，且OA OP 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为_6(2016济南 3 月模拟)在椭圆x216y291 内，过点 M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为_7(2016重庆模拟)设 A
3、，P 是椭圆x22y21 上的两点，点 A 关于 x 轴的对称点为B(异于点 P)，若直线 AP，BP 分别交 x 轴于点 M，N，则OM ON _.8如图，ABCD为正方形，以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为_9(2017上海六校 3 月联考)已知点 F 为椭圆 C：x22y21 的左焦点，点 P 为椭圆C 上任意一点，点 Q 的坐标为(4,3)，则 PQPF 取最大值时，点 P 的坐标为_10(2016镇江模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过右焦点 F且斜率为 k(k0)的直线与 C 相交于 A，B 两点，若AF3FB，则 k_.11(2016连
4、云港二模)已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上的任意一点，若PF1F2，PF2F1，且 cos 55，sin()35，则此椭圆的离心率为_12设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线 ykx(k0)与AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点，若ED 6DF，则 k 的值为_13(2017黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点 P，使asinPF1F2csinPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为_14椭圆 C：x24y231 的左、右顶点
5、分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1 的斜率的取值范围是_答案精析1.33解析 由题意知 sin30PF2PF112，PF12PF2.又PF1PF22a，PF22a3.tan30 PF2F1F22a32c 33.ca 33.2.31解析 设 A(m，n)，则nmc 31，3mc2n20，解得 Ac2，32 c，代入椭圆方程中，有 c24a23c24b21，所以 b2c23a2c24a2b2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以 c48a2c24a40，所以 e48e240，所以e242 3，所以 e 31.3.15解
6、析 不妨设 B(0，b)，则BF1(c，b)，BA(a，b)，BF2(c，b)，由条件可得3ca2c，a5c，故 e15.43解析 b22，c a22，故 F1F22 a22，又 PF14，PF1PF22a，PF22a4，由余弦定理，得 cos120422a422 a222242a412，解得 a3.515解析 APOP OA(1)OA，即OP OA，则 O，P，A 三点共线又OA OP 72，所以OA 与OP 同向，所以|OA|OP|72.设 OP 与 x 轴的夹角为，点 A 的坐标为(x，y)，点 B 为点 A 在 x 轴上的投影，则 OP 在 x 轴上的投影长度为|OP|cos|OP|O
7、B|OA|72|OB|OA|2 72|x|x2y272|x|1625x297211625|x|9|x|72121692515，当且仅当|x|154 时，等号成立故线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15.69x16y250解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有x2116y219 1，x2216y2291，两式相减得x1x2x1x216y1y2y1y290.又 x1x2y1y22，因此x1x216 y1y290，即y1y2x1x2 916，所求直线的斜率是 916，弦所在的直线方程是 y1 916(x1)，即 9x16y250.72解析 设 A(a，b)，
8、B(a，b)，P(m，n)则 kAPbnam，kBPnbma，直线 AP 的方程为 ynbnam(xm)设 M(xM,0)，N(xN,0)，在直线 AP 的方程中，令 y0，得 xManbmnb，同理，可得 xNanmbnb.又点 A(a，b)，P(m，n)是椭圆x22y21 上的点，a22 b21，m22 n21，OM ON(xM,0)(xN,0)xMxNa2n2b2m2n2b2a21m22 m21a22 1m22 1a22 a2m2a2m222.8.21解析 依题意，设 ABt，则椭圆的离心率 et2tt121 21.9(0，1)解析 设椭圆的右焦点为 E，PQPFPQ2aPEPQPE2
9、2.当 P 为线段 QE 的延长线与椭圆的交点时，PQPF 取最大值，此时，直线 PQ 的方程为 yx1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，1)，即点 P 的坐标为(0，1)10.2解析 由椭圆 C 的离心率为 32，得 c 32 a，b2a24，椭圆 C：x2a24y2a2 1，F(32 a,0)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，AF3FB，(32 axA，yA)3(xB 32 a，yB)32 axA3(xB 32 a)，yA3yB，即 xA3xB2 3a，yA3yB0.将 A，B 的坐标代入椭圆 C 的方程相减得9x2Bx2Aa28，3xBxA3xBxAa28，3xBxA4 33 a，
10、xA 33 a，xB5 39 a，yA 66 a，yB 618a，kyByAxBxA618a 66 a5 39 a 33 a 2.11.57解析 cos 55 sin2 55，所以 sinsin()sin()coscos()sin3555 452 55 11 525 或 55(舍去)设 PF1r1，PF2r2，由正弦定理得 r111 525 r22 552c35r1r221 5252c35eca 57.12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x24y21，直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx(k0)如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1
11、x2.则 x1，x2 满足方程(14k2)x24，故 x2x1214k2.由ED 6DF，知 x0 x16(x2x0)，可得 x017(6x2x1)57x2107 14k2.由 D 在 AB 上，知 x02kx02，得 x0212k，所以212k107 14k2，化简，得 24k225k60，解得 k23或 k38.13(21,1)解析 由asinPF1F2csinPF2F1，得casinPF2F1sinPF1F2.又由正弦定理得sinPF2F1sinPF1F2PF1PF2，所以PF1PF2ca，即 PF1caPF2.又由椭圆定义得 PF1PF22a，所以 PF2 2a2ac，PF1 2aca
12、c，因为 PF2 是PF1F2 的一边，所以有 2c 2acac 2a2ac2c 2acac，即 c22aca20，所以 e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为(21,1)1438，34解析 由题意可得，A1(2,0)，A2(2,0)，当 PA2 的斜率为2 时，直线 PA2 的方程为 y2(x2)，代入椭圆方程，消去 y 化简得 19x264x520，解得 x2 或 x2619.由 PA2 的斜率存在可得点 P2619，2419，此时直线 PA1 的斜率 k38.同理，当直线 PA2 的斜率为1 时，直线 PA2 的方程为 y(x2)，代入椭圆方程，消去 y 化简得7x216x40，解得 x2 或 x27.由 PA2 的斜率存在可得点P27，127，此时直线 PA1 的斜率 k34.数形结合可知，直线 PA1 的斜率的取值范围是38，34.
