1、第三节利用导数解决函数的极值、最值最新考纲1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.1.函数的极值函数yf（x）在点xa的函数值f（a）比它在点xa附近其他点的函数值都小，f（a）0，而且在点xa附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，则点a叫做函数yf（x）的极小值点，f（a）叫做函数yf（x）的极小值.函数yf（x）在点xb的函数值f（b）比它在点xb附近其他点的函数值都大，f（b）0，而且在点xb附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，则点b叫做函
2、数yf（x）的极大值点，f（b）叫做函数yf（x）的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.2.函数的最值（1）在闭区间a，b上连续的函数f（x）在a，b上必有最大值与最小值.（2）若函数f（x）在a，b上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在a，b上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值.1.若函数在开区间（a，b）内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点.2.若函数在闭区间a，b的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.一、思考辨析（正确的打“”，错误的打“”）（1）函数的极大值不一定比极小值大.（）（2
3、）对可导函数f（x），f（x0）0是x0点为极值点的充要条件.（）（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（）（4）开区间上的单调连续函数无最值.（）答案（1）（2）（3）（4）二、教材改编1.函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点C设f（x）的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当xx1时，f（x）0，f（x）为增函数，当x1xx2时，f（x）0，f（x）为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2
4、，xx4为极小值点，故选C.2.设函数f（x）ln x，则（）A.x为f（x）的极大值点B.x为f（x）的极小值点C.x2为f（x）的极大值点D.x2为f（x）的极小值点Df（x）（x0），当0x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，所以x2为f（x）的极小值点.3.函数yxex的最小值是.因为yxex，所以yexxex（1x）ex.当x1时，y0；当x1时，y0，所以当x1时函数取得最小值，且ymin.4.函数f（x）xaln x（a0）的极小值为.aaln a因为f（x）xaln x（a0），所以f（x）的定义域为（0，），f（x）1（a0），由f（x）0，解得xa.当x（0，a）时，f
5、（x）0；当x（a，）时，f（x）0，所以函数f（x）在xa处取得极小值，且极小值为f（a）aaln a.考点1利用导数解决函数的极值问题利用导数研究函数极值问题的一般流程根据函数图象判断函数极值的情况设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D由题图可知，当x2时，f（x）0；当2x1时，f（x）0；当1x2时，f（x）0；当x2时
6、，f（x）0.由此可以得到函数f（x）在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.求已知函数的极值已知函数f（x）（x2）（exax），当a0时，讨论f（x）的极值情况.解f（x）（exax）（x2）（exa）（x1）（ex2a），a0，由f（x）0得x1或xln 2a.当a时，f（x）（x1）（exe）0，f（x）在R上单调递增，故f（x）无极值.当0a时，ln 2a1，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，ln 2a）ln 2a（ln 2a,1）1（1，）f（x）00f（x
7、）极大值极小值故f（x）有极大值f（ln 2a）a（ln 2a2）2，极小值f（1）ae.当a时，ln 2a1，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，ln 2a）ln 2a（ln 2a，）f（x）00f（x）极大值极小值故f（x）有极大值f（1）ae，极小值f（ln 2a）a（ln 2a2）2.综上，当0a时，f（x）有极大值a（ln 2a2）2，极小值ae；当a时，f（x）无极值；当a时，f（x）有极大值ae，极小值a（ln 2a2）2.求函数极值的一般步骤（1）先求函数f（x）的定义域，再求函数f（x）的导函数.（2）求f（x）0的根.（3）判断在f（x）0的根
8、的左、右两侧f（x）的符号，确定极值点.（4）求出具体极值.教师备选例题设函数f（x）ln（x1）a（x2x），其中aR.讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由.解f（x）a（2x1）（x1）.令g（x）2ax2axa1，x（1，）.当a0时，g（x）1，此时f（x）0，函数f（x）在（1，）上单调递增，无极值点.当a0时，a28a（1a）a（9a8）.a.当0a时，0，g（x）0，f（x）0.函数f（x）在（1，）上单调递增，无极值点.b.当a时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2（x1x2），因为x1x2，所以x1，x2.由g（1）10，可得1x1.所以当x（1，x1）时，g
9、（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（x1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（x2，）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增.因此函数有两个极值点.当a0时，0，由g（1）10，可得x11x2.当x（1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（x2，）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递减.所以函数有一个极值点.综上所述，当a0时，函数f（x）有一个极值点；当0a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点.已知函数极值求参数的值或范围（1）已知f（x）x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab.
10、（2）若函数f（x）x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是.（1）7（2）（1）由题意得f（x）3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f（x）在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.（2）函数f（x）在区间上有极值点等价于f（x）0有2个不相等的实根且在内有根，由f（x）0有2个不相等的实根，得a2或a2.由f（x）0在内有根，得ax在内有解，又x2，），所以2a，综上，a的取值范围是.已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.（2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件
11、，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.教师备选例题若函数f（x）exaln x2ax1在（0，）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（）A.（e2，e）B.C. D.（，e）Df（x）ex2a，（x0）由f（x）0得a.令g（x）（x0）.由题意可知g（x）a在（0，）上恰有两个零点.又g（x）（x0），由g（x）0得0x1，且x.由g（x）0得x1.函数g（x）在，上递增，在（1，）上递减.又g（0）0，g（1）e，结合图形（图略）可知a（，e），故选D.1.若x2是函数f（x）（x2ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（）A.1B.2e3C.5e3 D.1A因为f（x）（x2
12、ax1）ex1，所以f（x）（2xa）ex1（x2ax1）ex1x2（a2）xa1ex1.因为x2是函数f（x）（x2ax1）ex1的极值点，所以2是x2（a2）xa10的根，所以a1，f（x）（x2x2）ex1（x2）（x1）ex1.令f（x）0，解得x2或x1，令f（x）0，解得2x1，所以f（x）在（，2）上单调递增，在（2,1）上单调递减，在（1，）上单调递增，所以当x1时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值f（1）1.2.已知函数f（x）x（xc）2在x2处有极小值，则实数c的值为（）A.6 B.2C.2或6 D.0B由f（2）0可得c2或6.当c2时，结合图象（图略）可知函数先增
13、后减再增，在x2处取得极小值；当c6时，结合图象（图略）可知，函数在x2处取得极大值.故选B.3.（2019长春市质量监测）若函数f（x）（x2ax3）ex在（0，）内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（）A.（，2 B.（，2）C.（，3 D.（，3）Cf（x）（2xa）ex（x2ax3）exx2（a2）xa3ex，令g（x）x2（a2）xa3.由题意知，g（x）在（0，）内先减后增或先增后减，结合函数g（x）的图象特征知，或解得a3.故选C.考点2用导数求函数的最值求函数f（x）在a，b上的最大值、最小值的步骤（1）求函数在（a，b）内的极值.（2）求函数在区间端点的函数值f（a），
14、f（b）.（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.（2019全国卷）已知函数f（x）2x3ax2b.（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.解（1）f（x）6x22ax2x（3xa）.令f（x）0，得x0或x.若a0，则当x（，0）时，f（x）0；当x时，f（x）0.故f（x）在（，0），单调递增，在单调递减.若a0，f（x）在（，）单调递增.若a0，则当x（0，）时，f（x）0；当x时，f（x）0.故f（x）在，（0，）单调递增，在单调递
15、减.（2）满足题设条件的a，b存在.（）当a0时，由（1）知，f（x）在0,1单调递增，所以f（x）在区间0,1的最小值为f（0）b，最大值为f（1）2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.（）当a3时，由（1）知，f（x）在0,1单调递减，所以f（x）在区间0,1的最大值为f（0）b，最小值为f（1）2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.（）当0a3时，由（1）知，f（x）在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾.若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾.综上，当且仅当a0，b1或a4，
16、b1时，f（x）在0,1的最小值为1，最大值为1.（1）讨论函数的单调性时，一要注意函数的定义域；二要注意分类的标准，做到不重不漏.（2）对于探索性问题，求出参数值后要注意检验.教师备选例题已知函数f（x）ln xax（aR）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，求函数f（x）在1,2上的最小值.解（1）f（x）a（x0），当a0时，f（x）a0，即函数f（x）的单调递增区间为（0，）.当a0时，令f（x）a0，可得x，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0，故函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）；当a0时，函数f
17、（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当01，即a1时，函数f（x）在区间1,2上是减函数，所以f（x）的最小值是f（2）ln 22a.当2，即0a时，函数f（x）在区间1,2上是增函数，所以f（x）的最小值是f（1）a.当12，即a1时，函数f（x）在上是增函数，在上是减函数.又f（2）f（1）ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f（1）a；当ln 2a1时，最小值为f（2）ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f（x）的最小值是f（1）a；当aln 2时，函数f（x）的最小值是f（2）ln 22a.（2019郑州模拟）已知函数f（x）kln x，k，求函数f（x）在上的
18、最大值和最小值.解f（x）.若k0，则f（x）在上恒有f（x）0，所以f（x）在上单调递减.若k0，则f（x）.（）若k0，则在上恒有0.所以f（x）在上单调递减，（）若k0，由k，得e，则x0在上恒成立，所以0，所以f（x）在，e上单调递减.综上，当k时，f（x）在上单调递减，所以f（x）minf（e）k1，f（x）maxfek1.考点3利用导数研究生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf（x）.（2）求函数的导数f（x），解方程f（x）0.（3）比较函数在区间端点和f（x）0的点
19、的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.（4）回归实际问题，结合实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y10（x6）2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解（1）因为当x5时，y11，所以1011，解得a2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量为y10（x6）2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）（x3）210（x3）（x6）2,3x6.则f（x）1
20、0（x6）22（x3）（x6）30（x4）（x6）.于是，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（3,4）4（4,6）f（x）0f（x）极大值42由上表可得，当x4时，函数f（x）取得极大值，也是最大值.所以，当x4时，函数f（x）取得最大值且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.（1）利用导数研究生活中的优化问题的关键：理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.（2）注意：函数的定义域由实际问题确定，最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积
21、为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元（为圆周率）.（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域.（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解（1）因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为（200rh160r2）元.又根据题意得200rh160r212 000，所以h（3004r2），从而V（r）r2h（300r4r3）.由h0，且r0可得0r5，故函数V（r）的定义域为（0,5）.（2）因为V（r）（300r4r3），所以V（r）（30012r2）.令V（r）0，解得r15，r25（因为r25不在定义域内，舍去）.当r（0,5）时，V（r）0，故V（r）在（0,5）上为增函数；当r（5,5）时，V（r）0，故V（r）在（5,5）上为减函数.由此可知，V（r）在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.