1、曲线上一点处的切线苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 平均变化率 )(xf一般的，函数 在区间上的平均变化率为,21 xx1212)()(xxxfxf复习 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 复习 苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 求函数在下列区间上的平均变化率：-1,0;2,2+()2()f xx0 x x平均变化率近似的刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，它只与区间端点有关.这种刻画方式较“粗糙”，有时会产生错误判断，因此，我们这节课来研究如何精确刻画曲线上某一点处的变化趋势。苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 P问题:如何精确地刻
2、画曲线在某一点处的变化趋势呢?苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 直线l的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的变化趋势.这对研究曲线在一点处的变化趋势有何启发？在点P附近用直线l代替曲线，即很小范围内以直代曲；再放大再放大P再放大PP放大放大放大PPPPPPC1C2C3l1l3l2曲线在点P附近逼近一条确定的直线l；直线l是经过点P的所有直线中，最逼近曲线的一条直线.将点P附近的曲线放大再放大，会有什么发现？直线l的斜率PQoxyy=f(x)割线切线T(1)概念:曲线的割线和切线 结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.直线PQ称为曲线的割线苏教版选修1-1 曲线上一点
3、处的切线 如何求曲线上一点的切线?割线与切线.gsp(2)如何求割线的斜率?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(oxyy=f(x)PxQx+x苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 PQoxyy=f(x)割线切线T(3)如何求切线的斜率?(0,P)PQxk当无限趋近于 时无限趋近于点 处切线的斜率xxfxxfkPQ)()(割线逼近切线的思想苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线.42xf(x)4k0 x2PQ处的切线斜率为在点从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当x的斜率则割线设由题意解PQ),)x2(,x2(Q),4,2(P2，：x4)x2(k2PQ例1：试求f(x)=x2，
4、在x=2处的切线斜率当x无限趋近于0时，割 线 逼 近 切 线，割线斜率逼近切线斜率找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率x4xxx422.求出割线PQ的斜率,并化简.x)(x)xx(k00PQff求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤:3.令x 趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点Q(x0+x,f(x0+x)例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.2)4,2(2,021)1(21)1(),1)1(,1(),2,1(:22处的切线斜率为所以点
5、无限趋近于常数时无限趋近于当则解PkxxxxkxxQPPQPQ苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 求曲线上某点处的切线方程的基本步骤:斜率点P处A,时0无限当.2切线。即常数无限趋近于趋近于求出PQkx求出割线的斜率利用点斜式求出切线的方程苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 课堂练习1已知曲线22yx上一点 A(1,2)，求(1)点 A 处的切线的斜率.(2)点 A 处的切线的方程.2求曲线21yx 在点 P(-2，5)处的切线方程苏教版选修1-1 曲线上一点处的切线 小 结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲)2、根据定义,利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时令横坐标无限接近
