1、2.4.2抛物线的简单几何性质填一填抛物线的简单几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0x0y0y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口向上向右向左向上向下判一判1.抛物线x22py(p0)有一条对称轴为y轴()2抛物线yx2的准线方程是x.()3抛物线是中心对称图形()4抛物线的范围是xR.()5抛物线是轴对称图形()6抛物线的四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点、焦点()7抛物线的焦点是抛物线的定位条件()8过定点P(0,1)作与抛物线y22x只有一个公共点的直线，共可作3条()想一想1.影响抛物线
2、开口大小的量是什么，是如何影响的？参数p影响抛物线开口大小，p值越大，抛物线的开口越开阔，p越小，开口越扁狭2点P(x0，y0)与抛物线y22px(p0)的关系有哪些？分别满足什么条件？(1)点P(x0，y0)在抛物线y22px(p0)内部y0)上y2px0；(3)点P(x0，y0)在抛物线y22px(p0)外部y2px0.3抛物线中最值的求解策略是什么？(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化思考感悟：练一练1过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线
3、于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x26，那么|AB|等于()A10 B8C6 D4答案：B2抛物线y24px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()AF到y轴的距离BF到准线l的距离CF的横坐标DF到抛物线上一点的距离答案：A3AB是过抛物线x24y焦点的弦，且|AB|10，则AB的中点的纵坐标为_答案：44以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x4y30上的抛物线方程是_。答案：y26x.知识点一抛物线方程及其几何性质1边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()Ay2x By2xCy2x Dy2x解析：设抛物线方程为y2ax(a0)
4、又A(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选C.答案：C2已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长为2，求抛物线的方程解析：设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y10，y20)，则焦点F，直线l的方程为yx.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得22px，即x23px0.x1x23p，代入式得3p6p，p
5、.所求抛物线的标准方程是y23x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y23x.知识点三直线与抛物线的位置关系5.过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则A1FB1等于()A45 B90C60 D120解析：如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1.又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO.同理BFB1B1FO.于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.答案：B6已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与
6、C交于点B，若，求抛物线C的方程解析：如图，设B，A点的坐标分别为(x1，y1)，M为AB的中点于是有即又k，y2，y1.把B点坐标代入抛物线方程得322p，整理得p2.故所求抛物线C的方程为y24x.综合应用7.已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又因为F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|53
7、8.(2)由抛物线的定义，知中点M到准线的距离为.8设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明：因为抛物线y22px(p0)的焦点为F，所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy，代入抛物线方程得y22pmyp20.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2p2.因为BCx轴，且点C在准线x上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k，即k也是直线OA的斜率，又O是公共点，所以A，O，C三点共线，所以直线AC经过原点O.基础达标一、选择题1若抛物线y2x上一点P到准
8、线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A. B.C. D.解析：由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为.答案：B2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A2 B2C4 D2解析：由于抛物线关于x轴对称，且经过点M(2，y0)，可知抛物线开口向右，设方程为y22px(p0)，准线为x，而M点到准线距离为3，可知1，即p2，故抛物线方程为y24x.当x2时，可得y02，所以|OM|2.答案：B3已知直线l
9、过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48解析：设抛物线方程为y22px，则焦点，在方程中，令x，则yp，即36p2，得p6，所以y212x，所以点P到直线AB的距离为p6，所以SABP|AB|636.答案：C4已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8解析：由题意可得A点坐标为(3,2)，|AK|314，|AF|4，KAF60，所以SAKF|AK|AF|sin 60444.答案：C
10、5设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：根据题意知F，故直线l的方程为y2，所以A点坐标为.SOAF4，所以a8.答案：B6已知抛物线y24x的焦点为F，过点F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为()A2 B4C6 D8解析：由已知得直线AF的方程为y(x1)代入y24x，得3x210x30，解得x3或x.当x3时，y2；当x时，y，则A(3,2)，故|AF|314.答案：B7设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线
11、l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4解析：设直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，得消去x得到关于y的方程ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点；当k0时，令6464k20，解得1k0或00)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，则B点坐标为.又点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：611已知直线xy10与抛物线yax2有两个公共点，则a的取值范围是_解析：由得ax2x10.由题意得解得a且a0.答案：a且a012直线yx3与抛物线y24x交于A
12、，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面积S848.答案：48三、解答题13设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求实数k的值解析：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|， y，化简得x22y.故点P的轨
13、迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.14已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点，点A，B都在抛物线上，且AOB90，证明：直线AB必过一定点证明：设OA所在直线的方程为ykx，则直线OB的方程为yx，由题意知k0.由解得或即点A的坐标为，同样由解得点B的坐标为(2k2，2k)故AB所在直线的方程为y2k(x2k2)，化简并整理，得yx2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x2时，恒有y0.故直线过定点P(2,0).能力提升15.已知直线l经过抛物线y
14、24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解析：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与
15、抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.16已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知直线l的方程为x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由，及p0，得y11，y24，p2，则抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0，得k0或k4，b(2，)
