1、13.2函数的极值与导数(二)学习目标1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题1极小值点与极小值(1)特征：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，并且f(a)0.(2)符号：在点xa附近的左侧f(x)0.(3)结论：点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值(1)特征：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，并且f(b)0.(2)符号：在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，解得a1.(2)f(x)x(ln xax)，f(x)
2、ln x2ax1，且f(x)有两个极值点，f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a1，即0a.引申探究1若本例(1)中函数的极大值点是1，求a的值解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值2若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围解由题意，得方程x22xa0有两个不等正根，设为x1，x2，则解得0a0)上存在极值，求实数
3、a的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题解f(x)，x0，则f(x).当0x0，当x1时，f(x)0)上存在极值，解得a1.即实数a的取值范围为.类型二利用函数极值解决函数零点问题例2(1)函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2).且f
4、(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2，)上单调递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知a.(2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，
5、g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)极大值极小值则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m2)当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)极大值由上表可知，函数在x0处取得极大值，极大值为g(0)2ln 2b.结合图象(图略)可知，要使g(x)0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需即所以2ln 20，解得a6或a0时，令f(x)0，解得x或x.令f(x)0，解得x.若f(x)在(0,1)内有极小值，则01.解得0a20或m12时，方程
6、f(x)m有一个解；当m20或m12时，方程f(x)m有两个解；当12m20时，方程f(x)m有三个解1研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标2事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.一、选择题1函数f(x)3x2ln xx的极值点的个数是()A0 B1 C2 D3考点函数在某点处取得极值的条件题点不
7、含参数的函数求极值问题答案B解析函数f(x)的定义域为(0，)；f(x)6x1；当0x时，f(x)时，f(x)0；x是f(x)的极值点；即f(x)的极值点个数为1.故选B.2若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9.3若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a的值可能为()A4 B6 C7 D8答案A解析f(x)6x218x126(x1)(
8、x2)由f(x)0，得x2，由f(x)0，得1x2，所以函数f(x)在区间(，1)，(2，)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则f(1)0或f(2)0，解得a5或a4.4函数f(x)x2aln x(aR)不存在极值点，则a的取值范围是()A(，0) B(0，)C0，) D(，0考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案D解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x，若f(x)在(0，)上不存在极值点，则a2x2在(0，)上恒成立，故a0，故选D.5若函数f(x)x2exa恰有三个零点，则实数
9、a的取值范围是()A. B.C(0,4e2) D(0，)考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案B解析令g(x)x2ex，则g(x)2xexx2exxex(x2)令g(x)0，得x0或2，g(x)在(2,0)上单调递减，在(，2)，(0，)上单调递增g(x)极大值g(2)，g(x)极小值g(0)0，又f(x)x2exa恰有三个零点，则0a.6已知函数f(x)ln xax2(a1)x1在x1处取得极小值，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C(1，) D(0，)考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案C解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)ln xax2(a1)x1，f
10、(x)ax(a1)，令f(x)0，解得x或x1，若f(x)在x1处取得极小值，则01.7已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定()A等于0 B大于0C小于0 D小于或等于0考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案B解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，则x0和2是该方程的根x020.由题图知，f(x)0，则b0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0.二、填空题8函数f(x)ax2bx在x处有极值，则b的值为_考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案2解析f(x)2axb，函数f(x)在x处
11、有极值，f2ab0，即b2.9函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是_考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案a0解析f(x)ax3x1的导数为f(x)3ax21，若函数f(x)有极值，则f(x)0有解，即3ax210有解，a0.10若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案1,5)解析由题意，得f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a1，解得a0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f
12、(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点13已知函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数解(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)令f(x)0，解得x10，x2，x32.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)
13、在区间，(2，)上是单调递增函数，在区间(，0)，上是单调递减函数(2)f(x)x(4x23ax4)，显然x0不是方程4x23ax40的根，为使f(x)仅在x0处有极值，必须有4x23ax40恒成立，即有9a2640，解得a，此时，f(0)b是唯一的极值，因此满足条件的a的取值范围是.四、探究与拓展14设函数f(x)sin .若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，) D(，1)(1，)考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案C解析由正弦函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)，则k(kZ)，
14、从而得x0m(kZ)所以不等式xf(x0)2m2即为2m233，其中kZ.由题意，存在整数k使得不等式m23成立当k1且k0时，必有21，此时不等式显然不能成立，故k1或k0，此时，不等式即为m23，解得m2.15已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数解(1)对f(x)求导，得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)恒成立，即2(a
15、b)(e2xe2x)0恒成立，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32310，故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t10，t20，即f(x)0有两个根，且x1ln t1，x2ln t2.当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)