1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3.2双曲线的简单几何性质第二课时直线与双曲线的位置关系填一填1.直线与双曲线的位置关系的判断一般地，设直线方程为ykxm(m0)，双曲线方程为1(a0，b0)，将ykxm代入1，消去y并化简，得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点(2)当b2a2k20，即k时，判别式0直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式0直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式0，b0)，将xc代入双曲线的方程可得1，所以直线xc与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长|AB|.同理，可求
2、得双曲线1(a0，b0)的通径长也是.判一判1.等轴双曲线的渐近线方程为yx，它们互相垂直()2等轴双曲线的渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角()3双曲线1与 1有公共的渐近线()4双曲线的实轴长不一定大于虚轴长()5双曲线的四个参数a、b、c、e中，只要知道其中两个，便可以求出其他两个()6若双曲线x21的离心率为，则实数m的值为2.()7直线与双曲线的交点个数，可结合渐近线，用数形结合的方法讨论()8解决直线与双曲线的位置关系的问题，一定要运用方程思想，有一解时，直线与双曲线相切()9过焦点的直线与双曲线交于同一支时，最短弦是垂直于含焦点的对称轴的弦()想一想1.双曲线的简单几何性质与双曲
3、线的图象有什么关系？(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然2直线与双曲线的位置关系的判断思路是什么？利用方程组法解决直线与双曲线的公共点问题，要注意讨论转化以后的方程的二次项系数即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式，得到直线与双曲线的公共点个数3与双曲线有关的中点弦问题的解题思路是什么？与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而不求的思想另外，需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样
4、的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验思考感悟：练一练1已知双曲线x2y22，过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为()A1 B2C3 D4答案：B2直线y与双曲线y21交点的个数是()A0 B1C2 D3答案：B3直线xy0被双曲线x2y21截得的弦AB的长为_答案：24中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_答案：x2y28知识点一直线与双曲线的交点问题1直线l：ykx与双曲线C：x2y22交于不同的两点，则斜率k的取值范围是()A(0,1) B(，)C(1,1) D1,1解
5、析：双曲线的两条渐近线的斜率分别为1,1.直线l的斜率1k0或0k1.即1k1.答案：C2若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析：由得(1k2)x24kx100.由直线与双曲线的右支交于不同的两点，得解得k1.故选D.答案：D知识点二中点弦问题3.直线l经过P(1,1)且与双曲线x21交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为()A2xy10 B2xy30Cx2y10 D不存在解析：当直线斜率不存在时，方程为x1，与双曲线相切，不符合题意；当斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得两式相
6、减得xx(yy)，整理求出k2.直线方程为y2x1.由得2x24x30，(4)242380，不存在这样的直线答案：D4已知双曲线x21，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入双曲线方程得，得(x1x2)(x1x2).x1x24，y1y22，4(x1x2).6.直线AB的斜率为6.答案：6知识点三相交弦的弦长问题5.已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2.若斜率为2的直线经过双曲线的右焦点F2，与双曲线相交于A，B两点(其中点B在x轴下方)，求A，B两点的坐标及|AB|.解析：双曲线的右焦点
7、F2的坐标为(3,0)则直线AB的方程为y2(x3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组解得或因此A(5,4)，B，故|AB|.6已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A、B两点，试问：A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求AB的长解析：双曲线方程可化为1，故a21，b23，c2a2b24，c2.F2(2,0)又直线l的倾斜角为45，直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点
8、，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析：由题意，知，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)8已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_解析：如图，由，得F1AAB.又OF1OF2，得OA是F1F2B的中位线，即BF2OA，BF22OA.由0，得F1BF2B，OAF1A，则OBOF1有AOBAOF1，又OA与OB都是渐近线，得BOF2AOF1，又BOF2AOBAOF1，得BOF2AOF1BOA60，又渐近线OB的斜率为tan 60，所以该双曲线的离心率为e2.答案：2基础
9、达标一、选择题1过双曲线x2y24的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A2 B4C8 D4解析：双曲线x2y24的焦点为(2，0)，把x2代入并解得y2，|AB|2(2)4.故选B.答案：B2已知直线l：2xy20被双曲线C：x21截得的线段长等于3，下面哪一条直线被双曲线C所截得的弦长不等于3()A2yx20 B2xy20C2xy20 D2xy20解析：根据双曲线的图象关于x轴，y轴和原点对称可知，与直线2xy20关于原点对称的直线2xy20被双曲线C所截得的弦长等于3；与直线2xy20关于y轴对称的直线2xy20被双曲线C所截得的弦长等于3；与直线2xy20关于
10、x轴对称的直线2xy20被双曲线C所截得的弦长等于3.答案：A3设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过F作平行于双曲线的一条渐近线的直线，与双曲线相交于点B，则AFB的面积为()A15 B.C. D.解析：由题意得：c5，取过F平行于一条渐近线方程为y(x5)，即4x3y200，由得yB.即S(53).故选B.答案：B4已知过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析：双曲线的右焦点F(，0)，当直线的斜率不存在时，其方程为x，由解得y2，此时满足|AB|4，其也是直线与右支相交所得所有弦中最短的又双曲线两顶点间的距离
11、为2，|AB|4.直线l与双曲线两支均相交时，必有两条直线符合题意综上，符合题意的直线共有3条答案：C5已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.答案：B6如图，双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30的直线l，l与双曲线的右支交于点
12、P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：设F1(c,0)，M(0，y0)，因为M为PF1中点，且PF1倾斜角为30，则P，将其代入双曲线方程得1，又有c2a2b2，整理得344240，解得22或2(舍去)故所求渐近线方程为yx.故选C.答案：C7如图，F1、F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.解析：|AB|BF2|AF2|345，不妨令|AB|3，|BF2|4，|AF2|5，|AB|2|BF2|2|AF2|
13、2，ABF290，又由双曲线的定义得：|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a，|AF1|345|AF1|，|AF1|3，2a|AF2|AF1|2，a1，|BF1|6.在RtBF1F2中，|F1F2|2|BF1|2|BF2|2361652，又|F1F2|24c2，4c252，c，双曲线的离心率e，故选A.答案：A8已知点F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1,1) D(，)解析：由于F1ABF1BA，ABF1为锐角三角形，故AF1B为锐角，故只需要AF1F
14、245，即1，1，即c2a22ac，即e22e10，解得1e1，所以1e0，b0)，依题意c.方程可化为1.由得(72a2)x22a2x8a2a40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.，解得a22.双曲线的方程为1.答案：1三、解答题13已知双曲线两个焦点分别是F1，F2，点P(，1)在双曲线上(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60的直线与双曲线交于A，B两点，求F1AB的周长解析：(1)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)F2(，0)，P(，1)PF2x轴，|PF2|1且c.又c2a2b2，即a2a20，解得：a1，b21.双曲线的标准方程为：x2
15、y21.(2)由(1)知，双曲线渐近线为yx，倾斜角为45.直线AB过F2且倾斜角为60，A，B均在双曲线的右支上|BF1|BF2|2，|AF1|AF2|2，|AF1|BF1|4|AF2|BF2|4|AB|，设直线AB方程为：y(x)，代入双曲线方程得：2x26x70，|AB|4，F1AB的周长为：|AF1|BF1|AB|42|AB|12.14已知直线l：xy1与双曲线C：y21(a0)(1)若a，求l与C相交所得的弦长；(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围解析：(1)当a时，双曲线C的方程为4x2y21，联立消去y，得3x22x20.设两个交点为A(x1，y1)，B
16、(x2，y2)，则x1x2，x1x2，于是|AB|.(2)将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20，所以解得0a，且e，即离心率e的取值范围是(，).能力提升15.已知双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线C上(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若OEF的面积为2，求直线l的方程解析：(1)依题意，由a2b24，得双曲线方程为1(0a20，b0)又yx为双曲线C的一条渐近线，又a2b2c2，可以解得a21，b23，双曲线C的方程为x21.(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q，1，1，A(x1，y1)在双曲线C上，210，(16k2)32116k20.同理有：(16k2)32216k20.若16k20，则直线l过顶点，不合题意，16k20，1，2是二次方程(16k2)x232x16k20的两根12，k24，此时0，k2.所求Q的坐标为(2,0).- 11 - 版权所有高考资源网
