1、3.2导数的计算第一课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式填一填1.几种常用函数的导数函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)2.常见基本初等函数的导数公式：(1)若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；(2)若f(x)x (Q*)，则f(x)x1；(3)若f(x)sin x，则f(x)cos_x；(4)若f(x)cos x，则f(x)sin_x；(5)若f(x)ax，则f(x)axln_a (a0)；(6)若f(x)ex，则f(x)ex；(7)若f(x)logax，则f(x) (a0，且a1)；(8)若f(x
2、)ln x，则f(x).判一判1.若y，则y21.()解析：y0，故错误2(logax).()解析：(logax)，故错误3(3x)3x.()解析：(3x)3xln 3，故错误4函数y的导数y.()解析：y，故错误.想一想1.几个常用函数的导数的几何意义和物理意义怎样理解？提示：(1)函数yf(x)c的导数为y0，它表示函数yc图象上每一点处切线的斜率为0.若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态(2)函数yf(x)x的导数为y1，它表示函数yx图象上每一点处切线的斜率为1.若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀
3、速运动(3)函数yf(x)x2的导数y2x，几何意义表示函数yx2图象上每点(x，y)处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化；当yx2表示路程关于时间的函数时，y2x表示物体做变速运动，在时刻x的瞬时速度为2x.2几个基本初等函数的导数公式有什么特点？提示：(1)正余弦函数的导数可以记为“正余互换，(符号)正同余反”(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，公式(6)是公式(5)的特例(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，公式(8)是公式(7)的特例思考感悟：练一练1已知y，则y()A. BC. D0解析：常函数的导数为0，所以y时，y0.故选
4、D.答案：D2下列函数求导正确的是()A(sin x)cos x B(cos x)sin xC(2x)x2x1 D.解析：(sin x)cos x，(cos x)sin x，(2x)ln 22x，.答案：D3已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为_解析：设点P的坐标为(x0，y0)，因为f(x)4x31，所以4x13，所以x01.所以y01410，即得P(1,0)答案：(1,0)4若指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(1)ln 27，则f(1)_.解析：f(x)axln a，则f(1)aln aln 27，解得a3，所以f(x)3xln 3.
5、故f(1)31ln 3.答案：知识点一求导公式的直接运用1.已知f(x)，则f(x)等于()A. B1C0 D.解析：因常数的导数等于0，故选C.答案：C2下列四组函数中导数相等的是()Af(x)1与f(x)xBf(x)sin x与f(x)cos xCf(x)1cos x与f(x)sin xDf(x)12x2与f(x)2x23解析：由求导公式及运算法易知，D中f(x)(12x2)4x，与f(x)(2x23)4x相等故选D.答案：D3下列结论正确的个数为()yln 2，则y；y，则yx3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A0 B1C2 D3解析：yln 2为常数，所以y0，错；均正
6、确，直接利用公式即可验证答案：D知识点二某一点处的导数4.已知f(x)x，若f(1)2，则的值等于()A2 B2C3 D3解析：若2，则f(x)x2，f(x)2x，f(1)2(1)2适合条件故应选A项答案：A5若f(x)cos x，则f()A0 B1C1 D.解析：f(x)cos x，f(x)sin x.故fsin1.答案：C知识点三函数的切线问题6.若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_解析：y，切线方程为y(xa)，令x0，得y，令y0，得xa，由题意知|a|2，a4.答案：47已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，(1)求过点P，Q
7、的曲线yx2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解析：(1)因为y2x，P(1,1)，Q(2,4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1yx12，过Q点的切线的斜率k2yx24，过P点的切线方程：y12(x1)，即2xy10.过Q点的切线方程：y44(x2)，即4xy40.(2)因为y2x，直线PQ的斜率k1，切线的斜率ky|xx02x01，所以x0，所以切点M，与PQ平行的切线方程为：yx，即4x4y10.基础达标一、选择题1下列结论不正确的是()A若y3，则y0B若y，则yC若y，则yD若y3x，则y3解析：对于B选项yx .故选B.答案：B2下列结论：(cos x
8、)sin x；cos；若y，则yx3.其中正确的有()A0个B1个C2个 D3个解析：因为(cos x)sin x，所以错误；sin，而0，所以错误；(x2)2x3，则yx3，所以正确故选B.答案：B3已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()A. BCe De解析：设切点为(x0，y0)由yex，得y|xx0ex0，过切点的切线为yex0ex0(xx0)，即yex0x(1x0)ex0，又ykx是切线，故选D.答案：D4正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.解析：ycos x，而cos x1,1直线l的斜率的范围
9、是1,1，直线l倾斜角的范围是.故选A.答案：A5已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k3时的P点坐标为()A(2，8) B(1，1)或(1,1)C(2,8) D.解析：y3x2，k3，3x23，x1，则P点坐标为(1，1)或(1,1)故选B.答案：B6质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A. B.C. D.解析：st，当t4时，s.故选B.答案：B7f(x)x3，f(x0)6，则x0等于()A. BC D1解析：f(x)3x2，由f(x0)6，知3x6，所以x0.故选C.答案：C.二、填空题8已知f(x)x，Q，若f(1)4，则_.解析：f(x)x1，f
10、(1)(1)14，4.答案：49若函数yf(x)满足f(x1)12xx2，则yf(x)_.解析：f(x1)12xx2(x1)2，f(x)x2，f(x)2x.答案：2x10曲线ycos x在点A处的切线方程为_解析：y(cos x)sin x，ysin，在点A处的切线方程为y，即x2y0.答案：x2y011若f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 013(x)_.解析：因为f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin
11、 x)cos x，所以循环周期为4，因此f2 013(x)f1(x)cos x.答案：cos x12曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：因为yex，所以yex，所以yx2e2k，所以切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.在切线方程中，令x0，得ye2，令y0，得x1，所以S三角形|e2|1.答案：三、解答题13求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y10x.解析：(1)y(x12)12x11.(2)y(x4)4x5.(3)y()(x)x.(4)y(10x)10xln 10.14设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴
12、的交点的横坐标为xn，令anlg xn，求a1a2a99的值解析：y(n1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x.anlg xnlglg nlg(n1)，则a1a2a99lg 1lg 2lg 2lg 3lg 99lg 100lg 1002.能力提升15.求过曲线yex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程解析：yex，曲线在点P(1，e)处的切线斜率是yx1e，过点P且与切线垂直的直线的斜率k，所求直线方程为ye(x1)，即xeye210.16求过点(2,0)且与曲线yx3相切的直线方程解析：点(2,0)不在曲线yx3上，可令切点坐标为(x0，x)由题意，所求直线方程的斜率k，又y|3x，即3x，解得x00或x03.当x00时，得切点坐标是(0,0)，斜率k0，则所求直线方程是y0；当x03时，得切点坐标是(3,27)，斜率k27，则所求直线方程是y2727(x3)，即27xy540.综上，所求的直线方程为y0或27xy540.