1、31.3导数的几何意义填一填1.导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即k f(x0)(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2导函数对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数这样，当x变化时，f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y .判一判1.f(x)在x0处的导数记为y.(
2、)解析：f(x)在x0处的导数记为f(x0)，y是f(x)的导函数，故错误2直线l是函数yf(x)的图象的切线，则它们有且只有一个公共点()解析：函数yf(x)与切线除了切点之外可能还有其他的公共点，故错误3曲线的切线体现了无限趋近的思想()解析：曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想，故正确4函数yf(x)与其导函数的定义域相同()解析：函数yf(x)与其导函数f(x)的定义域不一定相同，如f的定义域是0，)，其导函数是f(x)的定义域是(0，)，定义域不同，故错误.想一想1.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，
3、甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线2常见求曲线的切线有哪些情况？提示：(1)如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点xx0处的导数f(x0)，即得切线的斜率kf(x0)，再根据点斜式写出切线方程(2)如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上3函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)之间有什么区别与联系？提示：(1)函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不
4、是变数(2)函数的导数，是对某一区间内任意的点x而言的，就是函数f(x)的导函数(3)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一思考感悟：练一练1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴相交但不垂直解析：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为0，切线与x轴平行或重合故选B.答案：B2若曲线yh(x)在点P(a，h(a)处的切线方程为2xy10，则()Ah(a)0 Bh(a)0 Dh(a)不确定解析：由2xy10，得y2x1，由导数的几何
5、意义知，h(a)2f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kAkB0.由导数的几何意义，得f(xA)0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析：在点(ak，a)处的切线方程为：ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1，a1a3a5164121.答案：219曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：因为y(1x)3(1x)332x3(x)2(x)3，所以23x(x)2，所以曲线yx3x3在点(1,3)处的切线斜率为k23x(x)22，则切线
6、方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy1010已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：因为f(x) a(x)23ax23axx13ax21，所以f(1)3a1，即曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为k3a1，又f(1)a2，所以切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，因为点(2,7)在切线上，所以7(a2)3a1，解得a1.答案：111在平面直角坐标系xOy中，记曲线y2x(xR，m2)在x1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为_解析：y2，y|x12m，所以直线l的方程为y(2m)(2m)(x
7、1)，即y(2m)x2m.令x0，得y2m；令y0，x.由题意得2m12，解得m3或m4.答案：3或412在曲线yx(x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为，则x0_.解析：因为y1，切点P(x0，x0)，x00，所以切线斜率ky|xx01，所以切线方程是y(xx0)令y0得x，即A；令x0得y，即B.所以SOABOAOB，解得x0.答案：三、解答题13已知曲线y上点P(2，1)求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程解析：将P(2，1)代入y，得t1，y.y .(1)曲线在点P处的切线斜率为yx21；(2)曲线
8、在点P处的切线方程为y(1)x2，即xy30.14已知在曲线yx2上过点P(x0，y0)的切线为l.(1)若切线l平行于直线y4x5，求点P的坐标；(2)若切线l垂直于直线2x6y50，求点P的坐标；(3)若切线l的倾斜角为135，求点P的坐标解析：由题意可得y2x.(1)因为切线l与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，故P(2,4)(2)因为切线l与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，所以y0，故P.(3)因为切线l的倾斜角为135，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，故P.能力提升15.已知曲线C：yx3.(1)求曲线C上横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)
9、小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解析：(1)将x2代入曲线C的方程，得y4，则切点的坐标为(2,4)yx2 4，则kyx24.故曲线C在点(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)由得(x2)(x22x8)0，解得x12，x24.从而求得公共点为(2,4)，(4，20)即切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点16设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求函数f(x)在xx0处的导数；(2)求函数f(x)的解析式；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解析：(1)设P为函数yf(x)上任意一点，则f(x0) a.(2)由曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3，得，又由(1)可知f(x0)a，于是解得或.因为a，bZ，所以f(x)x.(3)在曲线上任取一点.由f(x0)1知，过此点的切线方程为y(xx0)令x1得y，则切线与直线x1的交点为.令xy得y2x01，则切线与直线yx的交点为(2x01,2x01)又直线x1与直线yx的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以，所围成的三角形的面积为定值2.