1、 3.1.1 平均变化率 问题情境1：下表是2017年天猫双十一销售额时间 0.003(11s)0.008(28s)0.15(3min)1 2 3 6 7 9 10 12 13 15 24 销售额(亿元)1 10 100 571 788 800 863 900 1000 1050 1161 1207 1274 1682 销售额(亿元)ABCDt/d2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)O210T/oC14.815.1C(34,33.4)问题2：从A到B的温差是多少？从B到C的温差是多少？问题3：从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的气温变化得较快？问题1：你能说
2、出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？某市2017年3月18日到4月20日的日最高气温 变化曲线:问题情境2：（注：3月18 日为第一天）（3）曲线上BC之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？CByy（1）的大小能否作为量化BC段陡峭的程度的量？CByyCBxx在考察的同时必须考察学生活动（2）还必须考察什么量？案例中，从B到C气温“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？t(d)2030 3422030ABOCT/oC210t/d2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)OC(34,33.4)T/oC21032346.184.33BC
3、BCxxyy 联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值：来近似地量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间32，34上的平均变化率2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)OC(34,33.4)T/oC210气温在区间1，32上的平均变化率为：气温在区间32，34上的平均变化率为：33.4 18.614.87.4(/d)34322C18.63.515.10.5(/d)32 131C虽然点A，B之间的温差与点B，C之间的温差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大t/d问题4如果将上述气温曲线看成是函数的图象，任取x1，x2 1，34，则函数y=f(x)在区
4、间1，34上的平均变化率为在区间1，x1上的平均变化率为在区间x2，34上的平均变化率为o1x234xyACy=f(x)x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)1)1()(11xfxf2234)()34(xxff134)1()34(ff你能据此归纳出“函数的平均变化率”的一般性定义吗？f(34)-f(1)34-1 xfy xf2121f xf xxx f x12,x x一般地，函数 在区间上的平均变化率为曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，建构数学注意：不能脱离区间而言则平均变化率即为xyxxxfxf1212)()(xxfxxf)()(11若设，即将 看
5、作是对于的一个“增量”x1x2121f xf xxx f x12,x x一般地，函数 在区间上的平均变化率为)()(1212xfxfyxxxOABxyyf(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线AB的斜率平均变化率 xyxxxfxf1212)()(思考：2121f xf xxx f x12,x x一般地，函数 在区间上的平均变化率为的几何意义是什么？例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 t/月W/kg639123.56.58.611例题讲解0t/月W/kg639123.56
6、.58.611解：从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为)月/(1035.35.6kg)月/(4.06126.811kg不同的区间上平均变化率可能不同本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积（单位：），试计算第一个10s内V的平均变化率ttV1.025)(3cm问题1 例2中的平均变化率为负的实际意义是什么？解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为103(10)(0)5 25 20.25(/)100100cmsVV 平均变化率可正可负可为0问题2 平均变化率可以为0吗？举例说明.甲乙
7、例3 已知函数分别计算在区间-3，-1，0，5,m,n上及的平均变化率,2)(,12)(xxgxxf)(xf)(xg你在解本题的过程中有没有发现什么？bkxy,nm总结:一次函 数在区间上的平均变化率等于斜率k.kxyxxxfxf1212)()(ABOxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)xy你能解释为什么会出现这一现象吗？例4 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：2)(xxf)(xf（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001；同理可得:（5）函数 在区间1，1.0001上的平均变化率为2.0001。()f x你在解本题的过程中有没有发现什么？探究与思考当
8、逼近1的时候，在区间1，上 的平均变化率呈现什么样的变化？答案：逼近20 x()f x0 x0 xxy13o21.11、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，你能说甲的经营成果一定比乙好吗？课堂练习变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量相对于另一个量改变了多少2国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示（其中，W1(t),W2(t)分别表示甲、乙两企业的排污量）,试比较两个企业的治污效果 0标准1()W t2()W tWt0t3、已知
9、求上 的平均变化率：,13)(xxfbaxf,)(在区间9.0,1)3(1,1)2(2,1)1(bababa4、若一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则在时间段上的平均速度是多少？32 tSmst3,31.平均变化率 一般地，函数 在区间上的平均变化率为)(xf,21 xx1212)()(xxxfxf课堂小结平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，2.反思 如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能不同 平均变化率可正可负可为零，正负号分别表示变化量的增加或减少,平均变化率的绝对值的大小反映变化量变化的快慢程度 平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率