1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示1掌握1类方法(1)平面向量坐标运算的方法若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解(2)坐标形式下向量相等的条件及其应用条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值2把握向量共线的坐标运算(1)aba1b2a2b10，其中a(a1，b1)，b(a2，b2)这是代数运算，由于不需引进参数，从而简化代数运算(
2、2)ab，其中a(a1，b1)，b(a2，b2)且b10，b20.即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误知识点一平面向量的正交分解及坐标表示1如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A2i3jB4i2jC2ij D2ij解析：选C记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.故选C.2(2019天津新华中学课堂测试)如图，向量a，b，c的坐标分别是_，_，_.解析：将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a4i0j，a(4,0)；b0i6j，b(0,6)；c2i5j，c(2，5)答案：(4
3、,0)(0,6)(2，5)知识点二平面向量的坐标运算3(2018河南洛阳一高高一月考)已知向量(2,4)，(0,2)，则()A(2，2) B(2,2)C(1,1) D(1，1)解析：选D()(2，2)(1，1)，故选D.4(2019重庆八中高一期末)在ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，(1,2)，则()A(2,4) B(4,6)C(6，2) D(1,9)解析：选A在ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以(2,3)又(1,2)，所以(1,5)，(3，1)，所以(2,4)，故选A.5(2018浙江金华高三模考)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且
4、2，则顶点D的坐标为()A. BC(3,2) D(1,3)解析：选A设点D(m，n)，则由题意，得(4,3)2(m，n2)(2m,2n4)，故解得即点D，故选A.知识点三平面向量共线的坐标表示6已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a(2，)，若a，则实数的值为()AB C.D解析：选C根据A，B两点的坐标，可得(3,1)，a，2130，解得，故选C.7(2019广东中山纪念中学高一期中)已知O是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，试求实数k为何值时，A，B，C三点共线解：(4k，7)，(10k，k12)又A，B，C三点共线，所以，所以(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或
5、k11.所以当k2或11时，A，B，C三点共线1给出下列说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误，易知正确，故选C.2.在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量abc可表示为()Ae12e2 Be12e2C3e12e2 D3e12e2解析：选A由图可知ace12e2，be12e2，所以abcbe12e2.故选A.3若(1,1)，(0,1)，(a，b)，则ab()A
6、1 B0C1 D2解析：选A(0,1)(1,1)(1,0)，故a1，b0，ab1.故选A.4(2019湖北襄阳四中高一月考)设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a，4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析：选D由题意，得4a4b2c2(ac)d0，则d4a4b2c2(ac)6a4b4c(2，6)故选D.5(2018河北衡水景县中学高一月考)已知向量a(1,2)，b(，1)若ab与a平行，则实数()A5B C7D解析：选Dab(1,2)(，1)(1,3)，由ab与a平行，可得132(1)0
7、，解得.故选D.6(2018广东阳江高一期末)已知(6,1)，(4，k)，(2,1)若A，C，D三点共线，则实数k_.解析：因为(6,1)，(4，k)，(2,1)，所以(10，k1)又A，C，D三点共线，所以，所以1012(k1)0，解得k4.答案：47已知i，j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设(x2x1)i(x2x1)j(xR)，则点A位于第_象限解析：x2x10，(x2x1)0，点A位于第四象限答案：四8(2019陕西西安中学高一期中)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为_解析：若点A，B，C能构
8、成三角形，则这三点不共线，即与不共线(3,1)，(2m,1m)，3(1m)2m，即m，m.答案：m9(2019河南信阳高一月考)如图，A(0,5)，O(0,0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解：(0,5)，C.(4,3)，D.设M(x，y)，则(x，y5)，x2(y5)0，即7x4y20.又，x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.10(2018云南师范大学附属中学高一月考)设向量a(2，2cos2)，b，其中，m，为实数若a2b，求的取值范围解：由a2b，知又cos22sin sin22sin 1(sin 1)22，2cos22sin 2，22m(2m
9、2)2m2，m2.2，621，的取值范围为6,1素养提升平面向量的线性运算重点深化平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算【例1】(2019湖北咸宁联考)如图，在ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，3，点P在MN上，2，那么()A.BC. D解析().故选D.答案D【例2】如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1B2C3 D4解析解法一：根据图形，由题意可得
10、()().因为rs，所以r，s，则2r3s123.解法二：因为2，所以2()，整理得()，以下同解法一解法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由得DCAB，且AB4DC，又2，所以E为PB的中点，且.于是()，以下同解法一答案C学以致用平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一
11、点，tR)【例3】(1)(2019南昌莲塘一中质检)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，若A，B，C三点共线，则，的关系一定成立的是()A1 B1C1 D2(2)(2019郑州模拟)设e1与e2是平面内两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为_解析(1)与有公共点A，若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使t，即abtatb，则消去参数t得1；反之，当1时，ab，此时存在实数使，故和共线与有公共点A，A，B，C三点共线故选A.(2)由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以
12、3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k.答案(1)A(2)方法活用平面向量共线定理的3个应用证明向量共线对于非零向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线证明三点共线若存在实数，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值1在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. BC. D解析：选B因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()()，故选B.2(2019广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A|一定成立 B.一
13、定成立C.一定成立 D.一定成立解析：选A在平行四边形ABCD中，一定成立，一定成立，一定成立，但|不一定成立故选A.3(2019石家庄高三一检)在ABC中，点D在边AB上，且，设a，b，则()A.ab BabC.ab Dab解析：选B，()ab，故选B.4(2019兰州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角()A.B C.D解析：选B因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得sin2，所以sin ，故锐角.故选B.5(2019邹城期中)在ABC所在平面上有三点P，Q，R，满足，则PQR的面积与ABC的面积之比是()A12 B13C14 D15解析：选B由，得，即，2，
14、则P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q，R的位置PQR的面积为ABC的面积减去三个小三角形面积设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则SPQRSABCbsin Acsin Basin CSABC3SABCSABC，PQR与ABC的面积比为13.故选B.6(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.解析：向量a(1,2)，b(2，2)，2ab(4,2)c(1，)，c(2ab)，解得.答案：7.如图，在ABC中，已知，点P在线段BN上，若，则实数的值为_解析：可化为，即，因为，所以.由B，P，N三点共线可得.答案：8已知点A(2,3)，B(4
15、,5)，C(7,10)，若(R)，且点P在直线x2y0上，则实数的值为_解析：设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，所以x54，y75.又点P在直线x2y0上，故542(75)0，解得.答案：9(2018上海徐汇二模)如图，在ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足2.若xy，求x29y2的最小值解：根据题意，得xy.因为M，B，C三点共线，所以有xy1，即xy，所以x29y229y210y2y102，所以当y时，x29y2取得最小值，为.10已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3,24)(3，4)(0,20)所以M(0,20)又因为2b，所以2b(12,6)(3，4)(9,2)，所以N(9,2)所以(9，18)
