1、天津市耀华中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第卷1至2页，第卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为.集合A=1，3，6 ，集合B=2，3，4，5则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
2、】求出全集，再由集合的运算法则计算【详解】由题意，所以，故选：D【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算法则是解题关键2. 设xR.则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时，例如，则，不是充分的，必要性成立因此应是必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行本题也可从集合的包含角度求解3. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的
3、趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因,则当时,所以,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象4. 设.则a.b.c的大小关系是（ ）A. acbB. bcaC. cabD. cba【答案】A【解析】【分析】容易得出，从而可得出，的大小关系【详解】，；故选：【点睛】本题主要考查比较三个数的大小，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.5. 已知函数的部分图象如图所示.则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象得到 ，进而求得，然后由函数图象过点求解.【详
4、解】由函数图象知：，所以，又函数图象过点，所以 ，解得 ，又因为 ，所以，所以的解析式为：.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6. 设数列的前项和. 则的值为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用得出数列的通项公差，然后求解.【详解】由得，所以，所以，故.故选：C.【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用求解即可.7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】C【解析】【分析】先求出的值，再由函数的奇偶性得出可得出结果【详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函
5、数，所以，故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题8. 若将函数的图象向左平移个单位长度后.得到的函数图象关于对称.则函数在上的最小值是（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】写出平移后图象的函数解析式，由对称性求得，再由余弦函数性质得最小值【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后.得到图象解析式为，它的图象关于点对称，则，又，所以，所以，时，所以最小值为0，此时故选：D【点睛】本题考查三角函数图象平移变换，考查正弦函数的对称性，余弦函数的最值掌握正弦函数与余弦函数性质是解题关键9. 已知函数在
6、上单调递增.且关于的方程恰有两个不相等的实数解.则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.【详解】由函数的解析式可知函数在区间上单调递增，当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，且函数在处满足：，解得：，故，方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数的图像如图中虚线所示，令可得：，由可知，则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，很明显当，即时满足
7、题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，由函数的解析式可得：当时，故：，则，切点坐标为，从而：，即.据此可得：的取值范围是.故选: A.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2.本卷共12小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 设i是虚数单位.复数_【答案】【解析】【分析】先将分母展开，再利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.11.
8、 都成立.则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分类讨论，时结合二次函数性质得解【详解】时，不等式为，恒成立，时，则，解得，综上有故答案为：【点睛】本题考查二次不等式性成立问题，解题时需对最高次项系数分类讨论，否则易出错12. 在中.则的面积等于_【答案】【解析】【分析】由余弦定理求得，然后由三角形面积得结论，【详解】由余弦定理得，即，解得（舍去），所以故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，解三角形问题中要根据条件选择恰当的公式运算，本题也可先用正弦定理求，然后求出，再得结论13. 已知为等差数列，为其前项和.若则的值为_【答案】60【解析】分析】由等差数列的通项公式和前项和公
9、式求得首项和公差，然后再求和【详解】设数列的公差为，则，解得，所以故答案为：60【点睛】本题考查求等差数列的前项，解题方法是等差数列的基本量法即求出首项和公差，然后由等差数列的前项和公式得结论14. 已知均为正实数.则的最小值为_【答案】【解析】【分析】均为正实数，可得，所以，再利用导数研究单调性极值与最值即可求解.【详解】因为，所以，所以，令，则令，即，解得 ，此时单调递增，令，即，解得 ，此时单调递减，所以时，所以时的最小值为3，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.15. 若函数在上为减函数.则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，在单调递减，
10、且，即，即可求解.【详解】是由，复合而成，因为，开口向下，对称轴为，所以在上为减函数，因为函数在上为减函数，所以为增函数，所以，又因为对于恒成立了，所以，解得：，综上所述：实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数为二次函数.的图象过点.对称轴为.函数在上的最小值为.（）求的解析式；（）当 时.求函数的最小值（用表示）.【答案】（）；（）当时.的最小值为；当时.函数的最小值为；当时.的最小值为【解析】【分析】() 设二次函数,根据题意可得，
11、解出可得答案.（）由，则其对称轴方程为，分对称轴与区间的相对位置关系进行讨论可得答案.【详解】（）解：设二次函数的解析式为.其中由题意可知. 解得 所以的解析式为 （）由，则其对称轴方程为.当时.函数在上单调递减.此时的最小值为； 当.即时.函数在上单调递减.在上单调递增.此时的最小值为； 当.即时.函数在上单调递增.此时的最小值为 综上所述.当时.的最小值为；当时.函数的最小值为；当时.的最小值为【点睛】本题考查根据条件求二次函数解析式，求二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.17. 在中，内角所对的边分别为 已知.（）求角的大小；（）设，. 求和的值.【答案】（）；
12、（）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，利用三角恒等变换公式求解即可；（2）先利用余弦定理得出，再利用正弦定理得出,得出，然后将展开求值.【详解】解：（）由已知及正弦定理可得因为.所以.故.即整理得.所以因为.所以（）根据余弦定理.，将 ，代入解得：因为，所以根据正弦定理有：，解得又因为，所以，则，可求得：，则【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，考查三角函数和差角公式、二倍角公式的运用，难度一般.18. 已知函数（）若且.求；（）求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】（）；（）最小正周期为.【解析】【分析】（）根据以及的范围，得到，代入到中，得到答案；（）对进行整理
13、化简，得到，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】（）解：因为.且.所以故（）解：因为 .所以函数的最小正周期为设.由的单调递增区间是.令.解得.故函数的单调递增区间为.【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.19.已知函数，其中是常数.()当时，求曲线在点处的切线方程；（）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）当a1时，f（1）e，f（1）4e，由点斜式可求得yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（） 令f（x）
14、exx2+（a+2）x）0，可解得x（a+2）或x0，对（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）k在0，+）上有两个不相等的实数根的k的取值范围【详解】解：()由可得. 当时,.所以 曲线在点处的切线方程为，即（） 令，解得或当，即时，在区间上，所以是上的增函数.所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.当，即时，随的变化情况如下表由上表可知函数在上的最小值为.因为 函数是上的减函数，是上的增函数，且当时，有.所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题20. 已知数列的前项和，数列满足：，.（）求数列，的通项公式；（）求【答案】（）；（）【解析】【分析】（）直接根据前n项和与通项的关系求出数列的通项公式，再根据递推关系式求出数列的通项公式；（）先根据，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果【详解】解：（）当时，当时，适合上式，所以：；，数列的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，（）由（）可得，且，设，得，【点睛】本题考查由和的关系求数列通项公式，由数列递推公式证明等比数列，以及错位相减求和的应用，计算量较大