1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）正弦曲线、余弦曲线图象的作法：yxo1-122322y=sinx，x0,2y=cosx，x0,2平移法三角函数线法五点法正弦函数图像特征：oxy-11-13232656734233561126sin0,2 yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：sin,0,2 yx x最高点：最低点：与x轴的交点：(0,0)(,0)(2,0)32(,1)(,1)2注意：函数图像的凹凸性！-oxy-11-13232656734233561126cos0,2 yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：cos,0,2 yx x最高点：最低点：与x轴的交点：(0,1)3(,0)
2、2(2,1)(,1)(,0)2余弦函数图像特征：注意：函数图像的凹凸性！问题：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值；1.结合函数图象理解函数的定义域、值域、周期 性.2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期的定义，并会求简单函数的周期.(重点）通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂-1 xO123456-2-3-4-5-6-y=sinx y xyO1-1 y=cosx 微课1 正弦函数、余弦函数的周期性1、正弦函数、余弦函数的图像向左、向右无限伸展；2、正弦函数、余弦函数的图像夹在
3、两平行直线y=1,y=-1之间；3、正弦函数、余弦函数的图像间隔相同单位重复出现.提示:思考：观察上图,正弦曲线每相隔 个单位重复出现.诱导公式其理论依据是什么？-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinx y 2当自变量x的值增加2 的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.提示:周期函数的定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ,那么函数 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.()f xf(xT)f(x)()f xx思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？提示：周
4、期函数的周期不止一个.例如 2,4,6以及都是正弦函数的周期.事实上，任 何一个常数 都是它的周期.2k(kk0)Z且-2,-4,-6最小正周期:如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.()f x()f x思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？如果没有，请说明理由.提示：正弦函数存在最小正周期，是 2.正弦函数、余弦函数的定义域、值域和周期性：3、周期性：正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是 .2k(kk0)且Z2余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.2k(kk0)且Z21、定义域：2、值域：R1,1例1.求下列函数
5、的周期：(1)y3cosx,x;(2)ysin 2x,x;1(3)y2sin(x),x.26RRR【解析】（1）因为 ，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .3cos(x2)3cosx 2（2）因为 ，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.sin2(x)sin(2x2)sin2x 记住正弦、余弦函数的周期（3）因为 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .4112sinx42sin(x)22626 12sin(x),26求下列函数的周期：1(1)ycosx,xR;21(2)ysin(x),xR.34【变式练习】11(1)cos xcos(x2),22 所以原函数的周期为 .211
6、(2)sin(x)sin(x2)3434 所以原函数的周期为 .61sinx634 ，解：思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？一般地，函数(其中),最小正周期.yAsin(x),xR 0 2T 提示:【方法规律】例2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数.【解析】由已知有：f(x2)=-f(x),所以f(x+4)=即f(x4)=f(x),所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x),=-f(x)=-f(x2)f(x2)+2=周期函数、最小正周期.正（余）弦函数 周期性定义域值域 正弦函数、余弦函数的性
7、质（一）求函数的单调区间时，注意x的系数的正负 逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养 整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用 周期性 奇偶性 单调性 最值 1下列函数中，最小正周期为的是()Aysin xBycos xCysinx2Dycos 2x【解析】选D.由2=T 知D中函数的最小正周期为.D 2.求下列函数的最小正周期：(1)ysin2x3；(2)y|cos x|.【解题关键】解答本题(1)可利用代换 z2x3，将求原来函数的周期转化为求 ysin z 的周期再求解，或利用公式求解；(2)可通过图象求周期【解析】(1)法一 令 z2x3，
8、且 ysin z 的最小正周期为 2.sin2x32 sin(x4)32，因此 sin2x3 sin(x4)32.由周期函数定义，T4 是 ysin2x3 的最小正周期法二 f(x)sin2x3 的周期 T224.(2)作 y|cos x|的图象，如图所示：由图象知 y|cos x|的最小正周期为.【方法规律】1正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的2对于形如 yAsin(x)，yAcos(x)(A，为常数，且 0)函数的周期求法常直接利用 T2|来求解；形如 y|Asin x|或 y|Acos x|的周期常结合函数的图象，观察求解【互动探究】若把例题中两个函数改为：(1)y13cos2x3；(2)ycos|x|，试求函数的最小正周期【解析】(1)y13cos2x3 中，2，函数的最小正周期为 T22.(2)ycos|x|cos x，ycos|x|的最小正周期 T2.3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T2，且当 x1,1时，f(x)x2，求函数 f(x)的解析式【解 析】当 x2k 1,2k 1(kZ)时，x 2k1,1，又函数 yf(x)的周期 T2，f(x)f(x2k)(x2k)2，故函数 f(x)的解析式为 f(x)(x2k)2(x2k1,2k1(kZ)把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书.麦考莱
