1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理 学 习 目 标 1了解平面向量基本定理及其意义2理解两个向量夹角的定义，以及两向量的夹角与两直线所成角的区别3掌握平面向量基本定理并能熟练应用知识点一平面向量基本定理阅读教材P93P94，完成下列问题知识梳理平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量都可以作为基底()(2)一个平面
2、内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底()(3)零向量不可以作为基底中的向量()答案：(1)(2)(3)小试身手1设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)解析：设e1e2e1，则无解，e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底；设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则无解，e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底；e12e2(4e22e1)，e12e2与4e22
3、e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底；设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则无解，e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一组基底答案：2设G为ABC的重心，O为坐标原点，a，b，c，试用a，b，c表示，_.解析：()()(abc)答案：(abc)知识点二|向量的夹角阅读教材P94，完成下列问题知识梳理条件两个非零向量a和b产生过程作向量a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角范围0180特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向小试身手3若向量a，b的夹角为30，则向量a，b的夹角为()A60B30C120 D150答案：B4在等腰Rt
4、ABC中，A90，则向量与的夹角为_答案：135题型一用基底表示向量一题多解【例1】如图，在ABCD中，设对角线a，b，试用基底a，b表示，.解解法一：设AC，BD交于点O，则有a，b.所以ab，ab.解法二：设x，y，则y，又所以解得xab，yab，即ab，ab.方 法 总 结用基底表示向量的两种基本方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.1如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，M，N分别是DA，BC的中点，且k，设e1，e2，以e1，e2为
5、基底表示向量，.解：解法一：e2，k，kke2.0，e1(k1)e2.又0，且，e2.解法二：同解法一得，ke2，e1(k1)e2.连接MB，MC，由()得，()()e2.向量的夹角【例2】已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.解如图，作a，b，且AOB60，以，为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角30，所以90.方 法 总 结(1)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量
6、起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出(2)特别地，a与b的夹角为，1a与2b(1，2是非零常数)的夹角为0，当120时，0180；当120时，0.2若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解：由向量运算的几何意义知，ab，ab是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60.又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.题型三平面向量基本定理的应用多维探究常见的应用角度有：1求值问题2求参数值3求参数的取值范围角度1求值问题【例3】如图，在ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P
7、，求APPM与BPPN.解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2 e1 e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，.故APPM41，BPPN32.角度2求参数值【例4】(2018天津市大港区模拟)如图，在ABC中，P是BN上一点，若m，则实数m的值为()ABC1 D3解析，m，m.设(0)，得()，则，m，且，解得8，m.答案A角度3求参数的取值范围【例5】如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且xy，则x的取值范围是_；当x时，y的取值范围是_解析如图
8、，由向量加法的平行四边形法则可知，OP为平行四边形OAPB的对角线，且该平行四边形是以OA的反向延长线和OB为两邻边的，所以x的取值范围是(，0)当x，即时，延长AP交AB的延长线于点N，则点P应落在线段MN(不包括点M，N)上，其中，所以y的取值范围是.答案(，0)方 法 总 结1平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2，在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解2对于参数范围的问题要注意利用数形结合思想进行临界分析1掌握1个应用
9、平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则2理解1个概念向量的夹角：两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角3辨明1个易错点向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和.自测检评1设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e2e1解析：选B4e26e12(3e12e2)，两向量共线不能作为基底，故选B.2(2018嘉兴测试)在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选Aba，故选
10、A3.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为()A BC1 D1解析：选A由题意得，1，故选A4如图，AB是O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选D连接CD，OD，如图所示点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，ACCD，CADDAO30.OAOD，ADODAO30，CADADO，ACDO.由ACCD，得CDACAD30，CDADAO，CDAO，四边形ACDO为平行四边形， ab.故选D.5.如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 BC2 D解析：选B利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得xy，则.故选B.- 10 - 版权所有高考资源网