1、天津市静海区第一中学2020-2021学年高二数学上学期9月学生学业能力调研试题（含解析）第卷 基础题一、选择题：1. 在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：点关于轴对称的点坐标不变，坐标与分别互为相反数.故对称点为.考点：空间直角坐标系2. 已知两点，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分、两种情况讨论，当，先求出斜率范围，然后可得的取值范围.【详解】当时，；当时，故选：D【点睛】本题考查的是直线的倾斜角与斜率，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.3. 已知平面内有一个点，
2、的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知符合条件点P应满足，逐个选项验证即可【详解】对于选项A,=(1,0,1), =5,所以与n不垂直,排除A;同理可排除C,D.对于选项B,有,所以,因此B项正确.【点睛】本题考查平面法向量的定义，属基础题4. 若直线在y轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】先求直线的斜率，再由截距的运算列方程组求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，所以=，即，又直线在轴上的截距为，则，解得，故选B.【点睛】本题考查了
3、截距的运算，属基础题.5. 在四面体中，点为棱的中点. 设, ，那么向量用基底可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可.【详解】点为棱的中点， ，又，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.6. 若两条平行线，与之间的距离为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】两条平行线，与，有：，得：平行线，与平行线距离为：,解得或-9（舍）则.故选A.7. 下列说法正确的是（ ）A. 当直线与的斜率，满足时，两直
4、线一定垂直B. 直线的斜率为C. 过（，），（，）两点的所有直线的方程D. 经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】A【解析】【分析】A. 当直线与的斜率，满足时，可得两直线一定垂直；B.分类讨论和两种情况；C.分类讨论：过两点的所有直线的方程为或或；D. 过点且在轴和轴上截距都相等，分类讨论：截距为0和不为0两种情况.【详解】A.当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直，A项正确；B.直线，当时，其斜率为，所以不正确；C.过两点的所有直线的方程为或或，因此不正确；D.过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以不正确；综上，只有A正确，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的
5、是有关直线的问题，解题思路如下：（1）把握中斜率存在两直线垂直的条件可以判断A正确；（2）注意斜率存在的条件；（3）注意直线两点式方程的试用条件；（4）直线在两轴上的截距相等需要分截距等于零和不等于零两种情况.二、填空题：8. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则_【答案】【解析】【分析】以为一组基向量，首先，再将逐步地用基向量表示，最后合并整理得出结果.【详解】由，分别为，的中点，点在线段上，且，所以 ，则，故答案为：.9. 已知向量，当时，若向量与垂直，则实数和的值为_【答案】0；【解析】【分析】根据空间向量模的坐标表示公式，结合空间向量的加法、数乘的运
6、算的坐标表示公式和空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为与垂直，所以.故答案为：0；10. 已知、为轴上不同的两点，点的横坐标为1，且，若直线的方程为，则直线的方程为_【答案】.【解析】【分析】由题设可知直线关于直线对称，再利用直线点斜式方程的求法求解即可.【详解】解：由 是轴上的两点，点的横坐标为1，且，则直线关于直线对称，由直线PA的方程为，则，则，即 直线PB的方程为 ，故直线PB的方程为.故答案为：.三、解答题：11. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点设，（1）求证：；（2）求异面直线和所成角的余弦值【答案】（1）证明见解
7、析；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的数量积运算，求得，可得证；（2）由向量的夹角运算公式，可求得答案.【详解】（1）由已知得，所以，所以；（2），设异面直线和所成角为，则，所以异面直线和所成角的余弦值为12. 直线:，:，与的交点为（1）过点（3，2）与直线平行的直线方程是什么？（2）求（3，2）关于直线的对称点是什么？（3）直线过点，且坐标原点到直线的距离为1，求直线的方程？【答案】（1）；（2）；（3）直线方程为或.【解析】【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，代入点（3，2），可求得与直线平行的直线方程；（2）设（3，2）关于直线的对称点为点，建立方程组可求得点（3，2）关于直线
8、的对称点；（3）由解得交点，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在，根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，又因该直线过点（3，2），所以，解得，所以过点（3，2）与直线平行的直线方程是；（2）设（3，2）关于直线的对称点为点，则，解得，所以（3，2）关于直线的对称点是；（3）由解得，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足原点到直线的距离为1.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为原点到直线的距离为1，所以，解得，所以直线的方程为，综上得：直线的方程为或.【点睛】方法点睛：与直线平行的直线的方程可设为：，与直线垂直的直线的方程可设为：.13. 如图所示的几
9、何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，为的中点（1）求证：（2）求二面角夹角的大小；【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可得证；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以，因为，所以面，又面，所以；（2）如图以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ， ,设平面的法向量为，取，又平面的法向量为，设二面角夹角的大小为，由图示得为锐角，二
10、面角所成的二面角为.【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.第卷 提高题14. 如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）求点到直线的距离.（4）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，则，连接，利用线面平行、面面平行的判定和性质，可得证；（2）利用平行于平面的直线上各点到平
11、面的距离相等和等体积法可求得线到面的距离；（3）连接，运用三角形的等面积法可求得所求的距离（4）首先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，运用线面角的向量求解方法，可求得答案.【详解】解：（1）设的中点为，连接，则，又平面，平面，所以平面；连接，因为且，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，以平面；又，且平面，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）由（1）得平面，所以直线到平面距离等于点到平面的距离，设到平面的距离为d，则，而，又，所以，所以，解得，所以直线到平面的距离为；（3）连接，则，设点到直线的距离为h，所以，解得所以点到直线的距离为.（4）依题意，以为原点，分
12、别以的方向为轴，建系如图，得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则为平面的一个法向量，于是所以，与平面所成角的正弦值为【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.15. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，分别是，的中点（1）求平面与平面的夹角的大小；（2）线段上是否存在一个动点（与线段的端点不重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由【答案】（1）；
13、（2）存在这样的，且.【解析】【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（2）先假设存在，根据（1）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断.【详解】（1）取中点，连接， ， 如图以点为原点分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ， ,设平面的法向量为，取，又平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，由图示得为锐角，平面与平面所成二面角为.（3）设， 即，因为，所以，存在这样的，且.【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.