1、33三角函数的积化和差与和差化积1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式2.理解两公式的区别与联系3能利用两公式进行简单的三角函数的化简、求值与证明,学生用书P72)1积化和差公式cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()；sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin()2和差化积公式sin sin 2sincos；sin sin 2cossin；cos cos 2coscos；cos cos 2sinsin1sin 15sin 75()ABCD1解析：选B.sin 15sin 75cos(1575)cos(1575)(cos 90co
2、s 60)(0).2函数ycos xcos的最小正周期是_解析：ycos xcos.所以T.答案：3积化和差与和差化积之间有什么关系？解：积化和差与和差化积关系密切，在解题中可交替使用当和积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构变化，因此有可能产生互为相反项或为互约因式，从而有利于化简化简并求值学生用书P72已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值【解】因为cos cos ，所以2sinsin.因为sin sin ，所以2cossin.因为sin0，所以tan，即tan，所以sin().对于给角求值问题，要分析式子的特点，看是否具备同名的和差形式或者同名、异名正、余
3、弦函数乘积的形式，通过“配对”，进行另一种形式的转化；对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式子化简，直到找到两者的联系为止 不查表求值：(1)sin 54sin 18；(2)sincos.解：(1)原式2cos 36sin 182.(2)sincossin()sin()(sinsin)(1).证明三角恒等式学生用书P73求证：1sin22sin2cos4sin()sin()【证明】左边(1sin2)(2sin cos )2cos4cos2cos2(sin2cos2)cos2cos2(cos 2cos 2)2sin()sin()sin()sin()右
4、边所以原式成立证明三角恒等式，一般是从左证右或从右证左或是两边分头化简得同一结果 求证：在ABC中，sin Asin Bsin C4sinsincos.证明：左边sin(BC)2sincos2sincos2sincos2cos2cos2sincos4sinsincos右边所以原式成立1积化和差与和差化积是一对“孪生兄弟”，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算2不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系和差化积应用
5、时注意只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用和差化积公式化成积的形式1下列等式错误的是()Asin(AB)sin(AB)2sin Acos BBsin(AB)sin(AB)2cos Asin BCcos(AB)cos(AB)2cos Acos BDcos(AB)cos(AB)2sin Acos B解析：选D.由和差化积公式展开左边可知A、B、C正确2sin 105sin 15_解析：原式2sincos2sin 60cos 45.答案：3sin 37.5cos 7.5_解析：sin 37.5cos 7.
6、5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).答案：4求证下列各恒等式：(1)cot ；(2).证明：(1)cotcot.(2).,学生用书P135(单独成册)A基础达标1sin 70cos 20sin 10sin 50的值为()ABC D解析：选A.sin 70cos 20sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40.2若cos()cos()，则cos2sin2等于()A BC D解析：选C.cos()cos()(cos 2cos 2)(2cos21)(12sin2)cos2sin2，所以cos2s
7、in2.3函数ysincos x的最大值为()A BC1 D解析：选B.ysincos xsin.所以ymax.4化简的结果为()Atan Btan 2xCtan x Dtan x解析：选D.原式tan x.5在ABC中，若sin Asin Bcos2，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形解析：选B.由已知等式得cos(AB)cos(AB)(1cos C)，又ABC.所以cos(AB)cos(C)1cosC.所以cos(AB)1，又AB，所以AB0，所以AB，故ABC为等腰三角形故选B.6cos275cos215cos 75cos 15的值等于_解析：原式sin
8、215cos215cos 75cos 151(cos 90cos 60).答案：7函数ycoscos的最大值是_解析：y2coscos2coscossin x，所以ymax.答案：8已知，且cos cos ，则cos()等于_解析：cos cos 2sinsin2sinsinsin，所以sin.所以cos()12sin212.答案：9化简下列各式：(1)；(2).解：(1)原式tan.(2)原式.10在ABC中，若B30，求cos Asin C的取值范围解：由题意得cos Asin Csin(AC)sin(AC)sin(B)sin(AC)sin(AC)因为1sin(AC)1，所以sin(AC)
9、，所以cos Asin C的取值范围是.B能力提升11函数ysinsin x(x0，)的值域是()A2，2 BC D解析：选B.ysinsin x2cossincos(x)因为x，所以x，所以y.12cos273cos247cos 73cos 47_解析：原式cos 73cos 471(cos 146cos 94)cos 73cos 4712cos 120cos 26(cos 120cos 26)1cos 26cos 26.答案：13已知f(x)，x(0，)(1)将f(x)表示成cos x的多项式；(2)求f(x)的最小值解：(1)f(x)2coscoscos 2xcos x2cos2xcos x1.(2)因为f(x)2(cos x)2，且1cos x1.所以当cos x时，f(x)取最小值.14(选做题)已知在ABC中，AC，且B60，能否利用log4sin Alog4sin C1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由解：因为在ABC中，B60，所以AC120.因为log4sin Alog4sin C1，所以sin Asin C.因为sin Asin Ccos(AC)cos(AC)，所以cos(AC)cos(AC)，所以cos(AC)cos(AC)cos 1200.又因为0AC180，所以AC90.由，得A105，C15.