1、数学专题八 计数原理 概率与统计【考点精要】考点一. 概率的有关概念及等可能事件的概率。如：从1，2，3，4，5中随机选取一个数a，从1，2，3中随机选取一个数b,则ba的概率是 。考点二. 几何概型。主要考查几何概型的长度。如：在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).A. B. C. D. 考点三. 相互独立事件同时发生的概率，以及有关概率的计算。如：两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（B）A. B. C. D. 考点四. 排列组合。考查排列组合的相关知识，重点考查两个原理。如：某台小型
2、晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种考点五. 用样本的平均数、方差或标准差来估计总体的平均数、方差或标准差。如：样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若样本的平均值为1，则样本方差为 。考点六. 考查分层抽样、随机抽样、系统抽样等，掌握各种抽样的特征与方法。如：一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法
3、，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6考点七. 中位数、茎叶图的相关知识及频率分布直方图。考查频率分布直方图的基础知识，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率。如：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则
4、n等于 。考点八. 离散型随机变量的分布列与数学期望。如：设S是不等式的解集，整数，记使得“成立的有序数组”为事件A,（1）试列举A包含的基本事件；（2）记，求的分布列及数学期望。( )巧点妙拨1.排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.2.二项式系数的性质（1）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
5、即(r=0,1,2,n).（2）所有二项式系数和等于，即.3.概率（1）基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化（3）注意理解互斥事件与对立事件发生的条件。（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件
6、区域的长度（面积或体积）成比例两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个【典题对应】例1.（2010山东5）已知随机变量Z服从正态分布，若，则=( )A. 0.477 B. 0.625 C. 0.954 D. 0.977命题意图：本题重点考查正态分布的基础知识，掌握其基础知识是解答好本题的关键。解析：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线x=0对称，又，所以，=，故选C。名师坐堂：在正态分布中，数值计算问题是高考考查的一个热点，但考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无人下手或计算错误
7、若随机变量服从正态分布，那么随机变量在区间内取值的概率分别约为0683、0954、0997，应熟练掌握这几个概率值，在解决正态分布问题时，经常用到这类数值的计算问题例2.(2011山东理7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元命题意图：本题主要考查线性回归方程、平均数的相关知识。解析：由表可计算，因为点在回归直线，且为9.4，所以，解得，故回归方程为，令得，选B。名师坐堂：线
8、性回归方程是新课程的内容，因线性回归方程的公式较为复杂，往往会被忽视，尤其是也在线性回归方程上，应注意灵活应用。【授之以渔】1运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.2.计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件A所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件A所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或
9、体积3.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果4.二项分布是高中概率中最重要的概率分布，是近年高考非常注重的一个考点二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又是在相同的条件之下重复发生要记住二项分布概率模型的这个特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况【直击高考】1. 通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110
10、由算得，.附表：来源:学科网0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”2. 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为( )A B C D 3. ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机
11、取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为A. B. C. D. 4从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。5. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.6. 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.7. 在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也
12、有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，有什么方法最有说服力( )A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性实验 D.概率 8. 为2010年上海世博会挑选志愿者，大会组委会决定从上海某高级中学中选拔部分学生参加，该高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.（）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高
13、三年级抽取多少人？（）已知求高三年级女生比男生多的概率.数学专题八 计数原理 概率与统计【直击高考】1. 解析：因为，由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”，故选C。2.解析：故选D3. 解析：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为2，取到的点到O的距离大于1的概率为。4 解析：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75。5.解析：由题意得父亲和儿子的身高组成了三个坐标（173,170）、（170,176）、（176,182），其中前面的是父亲的身高，所以，所以孙
14、子的身高为cm.6. 解析:P(两人血型相同)P(两人血型均为A型)P(两人血型均为B型)P(两人血型均为AB型)P(两人血型均为O型).所以，P(两人血型不同)1.7. 解析：由于参加调查的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，认为有关与无关，符合22列联表的要求，故用独立性检验最有说服力。8. 解析：（）高三年级人数为现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为(人). （）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.由（）知且则所有的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个, 事件包含的基本事件有（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个，,故高三年级女生比男生多的概率为。