1、13.2余弦函数、正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质1.了解由正弦曲线转化为余弦曲线的过程2.理解余弦函数的性质3掌握五点法作图及余弦函数的图象与性质的求解及其应用 .,学生用书P22)1余弦函数的图象把正弦函数ysin x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数ycos x的图象，该图象叫做余弦曲线余弦曲线图象为：2余弦函数的性质函数ycos x定义域R值域1，1奇偶性偶周期性以2k(kZ，k0)为周期，2为最小正周期单调性当x2k，2k(kZ)时，递增；当x2k，2k(kZ)时，递减.最大值与最小值当x2k(kZ)时，最大值为1；当x2k(kZ)时，最小值为1.1判断(正确的打
2、“”，错误的打“”)(1)函数ysin x的图象向右平移个单位得到函数ycos x的图象()(2)函数ycos x的图象关于x轴对称()(3)函数ysin x，x0，2的图象与函数ycos x，x0，2的图象的形状完全一致()答案：(1)(2)(3)2用“五点法”作函数ycos 2x，xR的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A0，2B0，C0，2，3，4D0，解析：选B.令2x0，和2，得x0，故选B.3函数y3cos x1的最大值是_，最小值是_解析：因为cos x1，1，所以ymax314，ymin312.答案：42余弦函数图象的作法及其变换学生用书P23用五点法作出函数y2cos一
3、个周期内的简图，并说明y2cos的图象可由函数ycos x的图象怎样变换得到？【解】因为y2cos的周期T6，所以先在区间0，6上按五个关键点列表，描点，并用光滑的曲线将它们连接起来如下：xx02cos101012cos20202y2cos的图象也可由ycos x的图象变换而来，变换步骤如下：法一：先将函数ycos x的图象向左平移个单位，得函数ycos的图象，再将函数ycos图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得函数ycos的图象，最后将函数ycos图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数y2cos的图象法二：ycos xycosxycosy2cos.(1
4、)在用“五点法”画出函数yAcos(x)的图象时，所取的五点应由x0，2来确定，而不是令x0，2.(2)选择先平移还是先伸缩，影响平移的单位长度(3)无论将伸缩变换放在哪一个环节，其伸缩的量是不变的，即伸长或者缩短的量是固定的 画出函数y32cos x的简图(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合并分别写出最大值、最小值(2)讨论此函数的单调性解：按五个关键点列表如下，描点画出图象(如图)x02cos x1010132cos x53135(1)当cos x1即xx|x2k，kZ时，ymax325，当cos x1即xx|x(2k1)，kZ时，ymin321.(2)令tcos x，则y3
5、2t，因为函数y32t，当tR时是递增的，所以当x(2k1)，2k(kZ)时，函数ycos x是递增的，y32cos x也是递增的，当x2k，(2k1)(kZ)时，函数ycos x是递减的，y32cos x也是递减的函数的周期性与奇偶性学生用书P23判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期(1)y3cos 2x，xR；(2)ycos.【解】(1)y3cos 2x的周期T.因为xR且有3cos2(x)3cos 2x，所以y3cos 2x，xR为偶函数(2)函数ycos的周期T.因为xR，且f(x)cossinx，所以f(x)sinsinxf(x)所以ycos为奇函数(1)求函数的最小正周期的基本方法
6、是：若能直接用某些结论，则用其结论即可；若不能直接用，可对其解析式化简，使之能用结论要注意化简过程必须等价，定义域不能发生变化图象法也是求周期的一种方法 (2)判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提，另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(x)之间关系时的应用1.若f(x)cos ，则f(x)的最小正周期为()A2BC D4解析：选D.T4.2下列函数中，以为周期的偶函数是()Ay|sin x| Bysin|x|Cycos Dysin解析：选A.B不是周期函数，C中周期为但不是偶函数，D中ysin(x)cos x周期为2.画出A中y|sin x|的图象也可
7、知它周期为，且是偶函数函数的单调性与值域(最值)学生用书P24已知x0，f(x)sin(cos x)的最大值为a，最小值为b.g(x)cos(sin x)的最大值为c，最小值为d，试判断a、b、c、d的大小关系【解】因为x0，所以cos x1，1，sin x0，1因为当t时，函数ysin t是递增的且1，1，所以当t1，1时，函数ysin t是递增的所以当cos x1时，f(x)取最小值bsin(1)sin 1.当cos x1时，f(x)取最大值asin 1.同理根据函数ycos t，在0，上是递减的知当sin x0时，g(x)取最大值ccos 01，当sin x1时，g(x)取最小值dcos
8、 1.又因为1cos 10.所以sin 10cos 1sin 11，即bda0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于()AB3C6D9解析：选C.由题意可知，nT(nN)，所以n(nN)，所以6n(nN)，所以当n1时，取得最小值6.3函数y3sin2x4cos x的最小值为()A2B1C6 D3解析：选B.y3sin2x4cos x3(1cos2x)4cos xcos2x4cos x2(cos x2)22.因为1cos x1，所以ymin(12)221.4下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Aysin|x| Bycos(x)Cysi
9、n Dy|cos|解析：选C.对于A，ysin|x|是偶函数，但它在上单调递增，在上单调递减，不符合；对于B，ycos(x)cos x是偶函数，在(0，)上单调递减，不符合；对于C，ysincos x是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合；对于D，y是偶函数，在(0，)上单调递减，不符合5设函数f(x)x3，若0时，f(mcos )f(1m)0恒成立，则实数m的取值范围为()A(，1) B(，)C(0，1) D(，0)解析：选A.因为函数f(x)x3在R上是增函数，且f(x)是奇函数，所以由f(mcos )f(1m)0，得f(mcos )f(1m)所以f(mcos )f(m1)所以mcos m
10、1.所以(cos 1)m1.因为cos 10，所以m.因为0，所以0cos 1，所以1cos (0，1，所以1，)又因为0时，m恒成立，所以m1，故选A.6用“”或“”填空(1)cos 15_cos 20.(2)cos_cos.解析：(1)因为ycos x在(0，90)上为减函数，0152090，所以cos 15cos 20.(2)因为ycos x在上为增函数，0，所以coscos.答案：(1)(2)7函数ycos x，x，则y的取值范围是_解析：当x时，ycos x单调递增，y的取值范围是；当x时，ycos x单调递减，y的取值范围是，综上，y的取值范围是.答案：8函数f(x)lg(12co
11、s x)的定义域是_解析：12cos x0cos x2kx0且a1)的单调性解：设t2x，则ylogacos t(a0且a1)，画出ycos t的图象，如图所示：由题意知cos t0，所以t(2k，2k)(kZ)，当a1时，ycos t的单增区间为(2k，2k(kZ)令2x(2k，2k得x(k，k(kZ)，所以函数的单调递增区间为(k，k(kZ)同理可得，函数的单调递减区间为k，k)(kZ)当0a1时，函数的单调递增区间为k，k)(kZ)函数的单调递减区间为(k，k(kZ)14(选做题)如图，函数y2cos(x)(xR，0，0)的图象与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0，x0，时，求x0的值解：(1)将x0，y代入函数y2cos(x)，得cos ，因为0，所以.由已知T，且0，得2.(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0，所以点P的坐标为(2x0，)又因为点P在y2cos的图象上，且x0，所以cos，4x0，从而得4x0或4x0，即x0或x0.