1、(2015陕西，15，易)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_【解析】设P(x0，y0)(x00)，由yex，得yex，y|x01.由y，得y，1，x01或x01(舍去)，y01，点P的坐标为(1，1)【答案】(1，1)1(2011江西，4，易)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)【答案】Cf(x)的定义域为(0，)，又由f (x)2x20，解得1x2，所以f(x)0的解集为(2，)2(2011大纲全国，8，中)曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角
2、形的面积为()A. B. C. D1【答案】Ay2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点A，所以三角形面积S1，故选A.3(2012广东，12，易)曲线yx3x3在点(1，3)处的切线方程为_【解析】y3x21，y在点(1，3)处的切线斜率k2，由点斜式方程，得切线方程为y32(x1)，即2xy10.【答案】2xy104(2014广东，10，易)曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【解析】y5e5x，ky|x05，故所求切线方程为y35x，即5xy30.【答案】5xy305(2014江苏，
3、11，中)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_【解析】因为曲线yax2过点P(2，5)，所以4a5.又y2ax，且曲线在点P(2，5)处的切线与直线7x2y30平行，所以4a.由解得所以ab3.【答案】36(2013北京，18，13分，中)设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方解：(1)设f(x)，则f (x).所以切线的斜率kf (1)1，所以L的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L
4、的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方考向1导数的运算1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln x
5、f(x)2.运算法则(1)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)(2)复合函数的求导法则yf(u(x)的导数为yxyuux. (1)分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，做到不重不漏(2)特别要注意的是中间变量的系数，避免出现(cos 2x)sin 2x的错误 (1)(2014大纲全国，7)曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1(2)(2015浙江温州高三月考，5)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(
6、1)()Ae B1 C1 De(3)(2013江西，13)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_【解析】(1)yxex1x(ex1)(1x)ex1，曲线在点(1，1)处的切线斜率为y|x12.故选C.(2)f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.(3)令tex，故xln t，f(t)ln tt，即f(x)ln xx，f(x)1，f(1)2.【答案】(1)C(2)B(3)2【点拨】解题(2)时注意弄清f(1)为常数而非变量；解题(3)时先换元求解析式，然后再求导 导数运算的原则和方法(1)原则：先化简
7、解析式，再求导(2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则(2015江西九江月考，15)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f(x)f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数
8、的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.【解析】由知，f(x)cos xsin x，则f(x)sin xcos xsin0)，则f(x)0在区间上恒成立；由知，f(x)3x22，则f(x)6x0在区间上恒成立，故中的函数不是凸函数【答案】考向2导数的几何意义及其应用导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0) “过某点”与“在某点”的区别：曲
9、线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点(1)(2014课标，8)设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3(2)(2015山东威海质检，7)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10(3)(2014江西，13)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(4)(2015河南郑州模拟，12)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处
10、的切线的倾斜角，则的取值范围是_【解析】(1)ya，由题意得y|x02，即a12，a3.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.故选B.(3)设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2，2)(4)y，y.ex0，ex2，y1，0)，tan 1，0)又0，)，.【答案】(1)D(2)B(3)(ln 2，2)(4)【点拨】解题(1)时注意弄清点(0，0)在曲线上；
11、解题(2)时注意弄清过曲线“在某点”和“过某点”的曲线的切线的区别；解题(3)的关键是弄清曲线在点P处的导数与直线斜率之间的关系；解题(4)时注意正切函数在的图象与其正切值之间的对应关系 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解
12、决(2015河北石家庄一模，14)已知点P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围是_【解析】设P(x0，y0)，P点处切线倾斜角为，则0tan 1，由f(x)x22x3，得f(x)2x2，令02x021，得1x0.【答案】1(2015江西赣州高三期末，5)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0 B1 C. D2【答案】C依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，f(1)32t40，即t.2(2014河南平顶山模拟，8)点P是曲线x2yln x0上的任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1
13、 B. C. D.【答案】D将x2yln x0变形为yx2ln x(x0)，则y2x.令y1，则x1或x(舍)，可知函数yx2ln x的斜率为1的切线的切点横坐标为x1，纵坐标为y1.故切线方程为xy0.则点P到直线yx2的最小距离即切线方程xy0与yx2的两平行线间的距离，d.方法点拨：解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离3(2015云南昆明一中调研，9)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2【答案】C依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，故b
14、0，又有mf(0)g(0)，则ma1，因此ab1，选C.4(2015山西大同质检，7)已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A. B.C1，) D(，1【答案】A由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为()A(1，1) B(2，3)C(3，1) D(1，4)【答案】Ayx2aln x的定义域为(0，)，由导数的几何意义知y2x24，即a2，当且仅当x1时等号成立，代入曲线方程得y
15、1，故所求的切点坐标是(1，1)6(2015河南新乡质检，12)过点A(2，1)作曲线f(x)x33x的切线最多有()A3条 B2条 C1条 D0条【答案】A由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为k3x3，利用点斜式方程可知切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点A(2，1)代入可得关于x0的一元三次方程2x6x50.令y2x6x5，则y6x12x0.由y0得x00或x02.当x00时，y50；x02时，y30.所以方程2x6x50有3个解故过点A(2，1)作曲线f(x)x33x的切线最多有3条，故选A.方法点拨：曲线yf(x)过点(x0，y0)(点
16、不在曲线yf(x)上)的切线方程的求解步骤：(1)设出切点坐标P(x1，f(x1)；(2)写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；(3)将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；(4)将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程7(2015广东惠州质检，11)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_【解析】由y5ex3得，y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.【答案】5xy208(2014湖北武汉三模，14)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线y
17、f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014的值为_【解析】f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 014，则log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014log2 015(x1x2x2 014)log2 0151.【答案】19(2015河北唐山一中月考，20，12分)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y
18、f(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f (x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x6x012)g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)
19、的切线方程为y9，yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f (x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.1(2015课标，12，难)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1) B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)【答案】A设h(x).f(x)是奇函数，f(x)f
20、(x)，h(x)h(x)h(x)是偶函数xf(x)f(x)0，h(x)0.h(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数，且h(1)0，如图所示，可知满足f(x)0的x的取值范围是(，1)(0，1)思路点拨：构造函数h(x)，并判断其奇偶性和单调性，最后数形结合求解不等式2(2015课标，12，难)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，f(x)0成立，求a的取值范围解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1)，令g(x)2ax2axa1，x(1，)(i)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)单调
21、递增，无极值点；(ii)当a0时，a28a(1a)a(9a8)当0a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(1，)单调递增，无极值点；当a时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1，x2，由g(1)10，可得1x1.所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数有两个极值点(iii)当a0时，0，由g(1)10，可得x11，当x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调
22、递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数有一个极值点综上所述，当a0时，函数f(x)有一个极值点；当0a时，函数f(x)无极值点；当a时，函数f(x)有两个极值点(2)由(1)知，()当0a时，函数f(x)在(0，)上单调递增因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；()当a1时，由g(0)0，得x20，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；()当a1时，由g(0)0，可得x20.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减；因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x)0，不合题意；()当a
23、0时，设h(x)xln(x1)因为x(0，)时，h(x)10，所以h(x)在(0，)上单调递增因此当x(0，)时，h(x)h(0)0，即ln(x1)x.可得f(x)xa(x2x)ax2(1a)x.当x1时，ax2(1a)x0.此时f(x)0，不合题意综上所述，a的取值范围是0，14(2015课标，21，12分，难)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解：(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0
24、；当x(0，)时，emx10.所以，f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0时，g(t)0.故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e1时，由g(t)的单调性得，g(m)0，即emme1；当m0，即emme1.综上，m的取值范围是1，15(2015课标，21，12分，难)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1
25、)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用min(m，n)表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数解：(1)f (x)3x2a.设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)0，f(x0)0，即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)无零点当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所
26、以只需考虑f(x)在(0，1)的零点个数()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0，1)无零点，故f(x)在(0，1)单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0，1)有一个零点；当a0时，f(x)在(0，1)没有零点()若3a0，即a0，f(x)在(0，1)无零点；若f 0，即a，则f(x)在(0，1)有唯一零点；若f 0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0，1)有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点6(2015安徽，21，13分，难)设函数f(x)x2axb.(1)讨论函数f(sin x)
27、在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f0(x)x2a0xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb满足条件D1时的最大值解：(1)f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，x.f(sin x)(2sin xa)cos x，x.因为x，所以cos x0，22sin x2.当a2，bR时，函数f(sin x)在内单调递增，无极值；当a2，bR时，函数f(sin x)在内单调递减，无极值；对于2a2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0a，当xx0时，函数f(sin x)单调递减；当x0x时
28、，函数f(sin x)单调递增，因此，2a2，bR时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)f b.(2)当x时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|，当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立；当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值为D|aa0|bb0|.(3)D1即为|a|b|1，此时0a21，1b1，从而zb1.取a0，b1，则|a|b|1，并且zb1.由此可知，zb满足条件D1的最大值为1.1(2013浙江，8，中)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1
29、)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值【答案】C当k1时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)xex1，f(1)0，故A，B错；当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，f(x)(x21)ex2x2(x1)(x1)ex2，故f(x)0有一根为x11，另一根x2(0，1)当x(x2，1)时，f(x)0，f(x)递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)递增，f(x)在x1处取得极小值，故选C.2(2012重庆，8，中)设函数f(x)在R上可导，其导函数为
30、f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D当x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(，2)上是增函数当2x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(2，1)上是减函数当1x2时，1x0，f(x)2时，1x0.(1x)f(x)0，即f(x)在(2，)上是增函数综上，f(2)为极大值，f(2)为极小值3(2014陕西，10，中)如图，某飞行器在4千米高
31、空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x【答案】A根据题意，知所求函数在(5，5)上单调递减对于A，yx3x，yx2(x225)，x(5，5)，y0，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)【答案】C方法一：由已知可知a0.f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x.当a0时，函数f(x)在(，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且f(0)10，故f(x)有小于0的零点，不合题意当a0且唯一，只需f 0，即a24，a0；x时，f(x)0，
32、注意f(0)1，f 0，则f(x)的大致图象如图所示不符合题意，排除A，B.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f ，则f(x)的大致图象如图所示不符合题意，排除D.5(2014课标，12，难)设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，) D(，1)(1，)【答案】Cf (x)cos，由题意知，存在f(x)的极值点x0，则有f (x0)cos0，即k，kZ.则x0km，kZ.又x0满足xf(x0)2m2，即m2，kZ，m2
33、，kZ，即m23m2，kZ.m0，kZ.又存在x0满足xf(x0)2，m23，m24，m2或m0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0，2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点
34、当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 20，g(x)0.当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln(b1)时，g(x)0.而g(0)0，因此当0xln(b1)时，g(x)0，ln 20.692 8；当b1时，ln(b1)ln.g(ln)2(32)ln 20，ln 20(或f(x)0(或f(x)0(或0)恒成立，“”不能少必要时还需对“”进行检验(2014江西，18，12分)已知函数f(x)(x
35、2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围【解析】(1)由题意易知f(x)的定义域为.当b4时，f(x)，由f(x)0得x2或x0.当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x2处取极小值f(2)0，在x0处取极大值f(0)4.(2)f(x)，因为当x时，0(或f(x)0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：(1)f (x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a
36、0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a2即可，所以满足要求的a的取值范围是(，2)考向2利用导数研究函数的极值和最值1判断函数极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 “极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1即为极大值点，极大
37、值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)2求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f (x)；(2)求方程 f (x)0的根；(3)检验f (x)在方程f(x)0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点3函数的最值在闭区间a，b上的连续函数yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值
38、点极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值(2014安徽，18，12分)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值【思路导引】(1)利用导数运算公式求出函数f(x)的导数，求出导数为0时对应方程的根及由导数值的符号判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值【解析】(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f (x)3(x
39、x1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a0)，f(1)1，f(1)1.yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2
40、)由f (x)1(x0)可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值当a0时，由f(x)0解得xa.x(0，a)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上所述，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值考向3利用导数解决实际问题利用导数解决实际应用问题的种类及方法(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可；(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的
41、性质 (2011山东，21，12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元，设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【思路导引】构建y与r的关系确定y的极值y的最值回归实际问题得解【解析】(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此2r，整理得5r，故0r2.所以建造费用y
42、2rl34r2c2r34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20，当r30时，r.令m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m2，即c时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m，2)时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0，2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综合所述，当3c时，建造费用最小时r2；当c时，建造费用最小时r.【点拨】解答本题的关键是设出未知量，列出函数关系式，然后分类讨论，利用导数求最值，还要注意函数定义域的范围 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(
43、1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；(2)求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到原实际问题中作答(2011福建，18，13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格
44、x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)x5时，y11，1011，a2，(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2，商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6.f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4.当3x0，函数f(x)在(3，4)上递增；当4x6时，f(x)0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x2cex.【思路导引】第(1)问利用曲线上导数的几何意义求出a的值后，再求函数的极值；第(2)问先构造函数g(x)exx2，再利用单调性证明即可；
45、第(3)问方法一使用分类讨论法进行证明，证明时要借助第(2)问的结论，分c1和0c1两种情况证明，这里分类讨论分界点(c1)的确定依据也是由第(2)问的结论得出【解析】(1)由f(x)exax，得f (x)exa.又f (0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x，由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上单调
46、递增又g(0)10，因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x20时，x20时，x2cex.取x00，当x(x0，)时，恒有x2cex.若0c1，要使不等式x2kx2成立而要使exkx2成立，则只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，则h(x)1.所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)内单调递增取x016k16，所以h(x)在(x0，)内单调递增，又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2，5k0，所以h(x0)0.即存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.综上，对任意给定的正数c
47、，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x20时，exx2，所以exee，当xx0时，exx2，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.方法三：首先证明当x(0，)时，恒有x30时，x2ex，从而h(x)0，h(x)在(0，)内单调递减，所以h(x)h(0)10，即x3x0时，有x2x3ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln
48、xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，即h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.考向5利用导数研究函数的零点导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决 (20
49、14四川，21，14分)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围【思路导引】(1)求出f(x)的导数得g(x)，再求出g(x)的导数，对它进行讨论，从而判断g(x)的单调性，求出g(x)的最小值；(2)利用等价转换，将函数f(x)在区间(0，1)内有零点，转化为g(x)在(0，1)上至少有两个零点【解析】(1)因为f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x
50、0，1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递增因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递减，因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0，1上的
51、最小值是g(1)e2ab.(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0，1上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0，1上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点所以a0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe10，g(1)e2ab1a0.解得e2a1.当e2
52、a1时，g(x)在区间0，1内有最小值g(ln(2a)若g(ln(2a)0，则g(x)0(x0，1)，从而f(x)在区间0，1上单调递增，这与f(0)f(1)0矛盾，所以g(ln(2a)0，g(1)1a0，故此时g(x)在(0，ln(2a)和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在0，x1上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在x2，1上单调递增所以f(x1)f(0)0，f(x2)f(1)0，故f(x)在(x1，x2)内有零点综上可知，a的取值范围是(e2，1) 利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据
53、题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现(2015山东临沂三模，20，12分)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解：(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)
54、在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得10)的图象在(0，2)上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D函数f(x)2sin x(0)的图象在(0，2)上恰有一个极大值和一个极小值，2，0，f(2x)e22xf(x)，则下列判断一定正确的是()Af(1)ef(0)Cf(3)e3f(0) Df(4)e4f(0)【答案】C令F(x)exf(x)，则F(x)exf(x)f(x)，当x1时，由条件知f(x)f(x)0，则F(x)F(1)F(0)，即
55、e2f(2)ef(1)f(0)又f(4)e6f(2)，f(3)e4f(1)，所以f(4)e4f(0)，f(3)e3f(0)，故选C.4(2015河北衡水中学调研，11)已知函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0，1)，x2(1，)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，3 C(3，) D3，)【答案】Af (x)x2mx0的两根为x1，x2，且x1(0，1)，x2(1，)，则即作出区域D，如图阴影部分，可得loga(14)1，所以1a0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0
56、 B1 C2 D3【答案】Bx0时，f(x)0，0，即0.当x0时，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)0在(0，)上恒成立又0，F(x)0在(0，)上恒成立，F(x)在(0，)上无零点当x0时，(xf(x)0在(，0)上恒成立，F(x)xf(x)在(，0)上为减函数当x0时，xf(x)0，F(x)0，F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述，F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点，故选B.6(2014山东青岛模拟，14)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_【解析】由原函数有零点，可转化为方程ex2xa0有解，即
57、方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex.令g(x)0，得xln 2，令g(x)ln 2.所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2)2ln 22.因为a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a的取值范围为(，2ln 22【答案】(，2ln 227(2014陕西西安模拟，20，12分)已知函数f(x)(a0，aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，若对任意x1，x23，)，有f(x1)f(x2)m成立，求实数m的最小值解：f(x).令f(x)0，解得xa或x3a.(1)当a0时，f(x)，f(x)随着x
58、的变化如下表：x(，3a)3a(3a，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(3a，a)，函数f(x)的单调递减区间是(，3a)，(a，)当a0时，f(x)，f(x)随着x的变化如下表：x(，a)a(a，3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(a，3a)，函数f(x)的单调递减区间是(，a)，(3a，)(2)当a1时，由(1)得f(x)是(3，1)上的增函数，是(1，)上的减函数又当x1时，f(x)0，所以f(x)在3，)上的最小值为f(3)，最大值为f(1).所以对任意x1，x2，f(x1)f(x2)f(1)f(3
59、).所以对任意x1，x2，使f(x1)f(x2)m恒成立的实数m的最小值为.方法点拨：由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式8(2015广东梅州质检，21，14分)已知函数f(x)x3ax24(aR)，f(x)是f(x)的导函数(1)当a2时，对于任意的m1，1，n1，1，求f(m)f(n)的最小值；(2)若存在x0(0，)，使f(x0)0，求a的取值范围解：(1)由题意得f(x)x32x24，f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或.
60、当x在1，1上变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，0)0(0，1)1f(x)701f(x)143对于m1，1，f(m)的最小值为f(0)4.f(x)3x24x的对称轴为直线x，且抛物线开口向下，对于n1，1，f(n)的最小值为f(1)7.f(m)f (n)的最小值为11.(2)f (x)3x.若a0，当x0时，f(x)0时，f(x)0，使f(x0)0.若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，即a327，解得a3.综上，a的取值范围是(3，)9(2015山东潍坊四县一区联考，21，12分)已知函数f(x)ax2(a2)xln x，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在
61、点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围；(3)若x1，x2(0，)，且x1x2，f(x1)2x10)，f(x)2x3，则f(1)2，f(1)0.所以切线方程是y2.(2)函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0，)当a0时，f(x)2ax(a2)(x0)令f(x)0，得x或x.当01，即a1时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值是f(1)2；当1e，即a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值是ff(1)2，不合题意，故a1舍去；当e，即0a时，f(x)在1，e上单调递
62、减，所以f(x)在1，e上的最小值是f(e)f(1)2，不合题意，故00)当a0时，g(x)0，此时g(x)在(0，)上单调递增；当a0时，因为x0，依题意知，只要2ax2ax10在(0，)上恒成立记h(x)2ax2ax1，则抛物线过定点(0，1)，对称轴x.故必须即0a8.综上可得，a的取值范围为0，8(2015湖南，11，易)(x1)dx_【解析】(x1)dx0.【答案】01(2014陕西，3，易)定积分(2xex)dx的值为()Ae2 Be1 Ce De1【答案】C01e1e.2(2012湖北，3，易)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B. C.
63、D.【答案】B由图知二次函数f(x)x21，它与x轴所围图形的面积为f(x)dx2f(x)dx2(x21)dx202.故选B.3(2014湖北，6，中)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sin x，g(x)cos x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3【答案】C对于，f(x)g(x)dxsin xdx(cos x)|0；对于，f(x)g(x)dx(x21)dx|0；对于，x3dxx4|0.故为区间1，1上的正交函数4(201
64、3湖北，7，中)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825lnC425ln 5 D450ln 2【答案】C令v(t)73t0，解得t4，故继续行驶的距离sdt0425ln 5.方法点拨：如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt.5(2013湖
65、南，12，易)若x2dx9，则常数T的值为_【解析】x2dx09，解得T3.【答案】36(2013福建，15，难)当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：，从而得到如下等式：1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：CCCC_.【解析】CCxCx2Cxn(1x)n，两边同时积分得，从而得到如下等式：CCCC.【答案】考向1定积分的计算1定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)1)，则a的值是_【解析】(1)S11，S2ln x1ln 2，S3ex|e2e.由ln 21，e
66、2ee(e1)e，故S2S1S3，选B.(2)令f(x)dxm，则f(x)x22m，所以f(x)dx(x22m)dx02mm，解得m，故选B.(3)dx2xdxdxx21ln x1a21ln a3ln 2，所以解得a2.【答案】(1)B(2)B(3)2【点拨】解题(1)的关键是准确求出S1，S2，S3的值；解题(2)时要明确f(x)dx是一个常数，故可设f(x)dxm后再求定积分；解题(3)时注意建立关于a的方程组求解 1.求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面
67、积求定积分例如，定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx.2用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值(2015陕西西安检测，17，12分)已知dx3ln 2(ab1)，求实数a，b的值解：dx(x2ln x)a2ln ab2ln b(a2b2)ln3ln 2.解得考向2利用定积分求平面图形的面积求曲边梯形的面积的几种类型在直角坐标系中，由曲线f(x
68、)，直线xa，xb(ab)和x轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况：(1)当yf(x)(f(x)0，xa，b)时，如图，面积为Sf(x)dx；(2)当yf(x)(f(x)0，xa，b)时，如图，面积为Sf(x)dx；(3)如果在a，b上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下方都有图象，如函数f(x)的图象在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)上位于x轴下方，如图，则面积为f(x)dx|f(x)|dxf(x)dxf(x)dx；(4)由曲线yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)与直线xa，xb(a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_【解析】(1)由得x2或x
69、0，所以两图象的交点坐标为(0，0)，(2，8)，(2，8)所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积S(4xx3)dx4416844，故选D.(2)由题意得dxa2.又，0a2，即aa2，a.【答案】(1)D(2)【点拨】解题(1)(2)时要注意围成曲边图形的曲线的上下位置关系 利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案(2015北京东城区检测，13)如图，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积
70、相等，则x0_【解析】S阴影x00x2dx0x，又S阴影SAOP，xx0，x0.【答案】1(2015福建宁德质检，5)定积分|x22x|dx()A5 B6 C7 D8【答案】D|x22x|dx(x22x)dx(2xx2)dx20448.2(2015河南开封诊断考试，5)若(x2mx)dx0，则实数m的值为()A B C1 D2【答案】B由题意知，(x2mx)dx00，得m.3(2015山西太原八校联考，7)已知(xln x)ln x1，则ln xdx()A1 Be Ce1 De1【答案】A由(xln x)ln x1，联想到(xln xx)(ln x1)1ln x，于是ln xd x(xln x
71、x)(eln ee)(1ln 11)1.4(2015山东淄博一模，6)如图所示，曲线yx21，x2，x0，y0围成的阴影部分的面积为()A.|x21|dxB.C.(x21)dxD.(x21)dx(1x2)dx【答案】A由曲线y|x21|的性质，可得所求阴影部分的面积为|x21|dx，选A.5(2015湖南长沙模拟，7)如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)sin x(x(0，)及直线xa(a(0，)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是()A. B. C. D.【答案】B由题意知，构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为ax6.记“向矩形OABC内
72、随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，S01cos a，由几何概型的概率计算公式得P(A)，所以cos a.又a(0，)，所以a.6(2015河南郑州质检，15)dx_【解析】dx表示y与x0，x1及y0所围成的图形的面积由y得(x1)2y21(y0)又0x1，y与x0，x1及y0所围成的图形为个圆，其面积为.dx.【答案】7(2014广东汕头质检，12)设asin xdx，则曲线yf(x)xaxax2在点(1，f(1)处的切线的斜率为_【解析】a02，f(x)x2x2x2.f(x)2xx2xln 22.曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率kf(1)42l
73、n 2.【答案】42ln 2(时间：120分钟_分数：150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1(2015广西柳州二模，5)函数f(x)在点(x0，f(x0)处的切线平行于x轴，则f(x0)等于()A B. C. De2【答案】B与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f(x0)0，故x0e，f(x0).2(2015河北衡水质检，7)已知实数a，b，c，d成等比数列，函数yln(x2)x，当xb时，取到极大值c，则ad等于()A1 B0 C1 D2【答案】Cy1，由y0得x1.又f(1)ln 111，所以b1，c1，所以adbc1.3(2013北京，7)直线l过抛物线C：x24y的焦
74、点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.【答案】C由题意知，抛物线的焦点坐标为(0，1)，故直线l的方程为y1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2，1)根据图形的对称性和定积分的几何意义可得，所求图形的面积是2dx20.4(2015山东临沂质检，8)若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，) B.C1，2) D.【答案】Bf(x)4x(x0)，令f(x)0，得x.又函数f(x)在区间(k1，k1)内不是单调函数，故(k1，k1)且k10，解得k，故选B.思路点拨：解答本题的关键是求出极
75、值点x0，根据x0与(k1，k1)的关系求解5(2015安徽淮南二模，6)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C1或1 D3或1【答案】Ay3x23，当y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表；x(，1)1(1，1)1(1，)y00yc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.6(2015河南洛阳质检，8)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)【答案】A当x1时，f(x)1时，f(x)0，此
76、时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)，故选A.7(2014河北石家庄模拟，8)若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4 C(0，) D4，)【答案】B2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，48(2015陕西汉中
77、质检，9)设函数f(x)在R上可导，其导函数是f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()【答案】Cf(x)在x2处取得极小值，即x2，f(x)2，f(x)0，那么yxf(x)过点(0，0)及(2，0)当x2时，x0，f(x)0；当2x0时，x0，y0时，f(x)0，y0，故C正确9(2015福建厦门质检，10)若函数f(x)x33x在(a，6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2，1) D(，2【答案】Cf (x)3x230，得x1，且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点函数f(x)在区间(a，6a2)上，则函数f(x)极小
78、值点必在区间(a，6a2)内，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.解a16a2，得a1.不等式a33af(1)2，即a33a20，即a313(a1)0，即(a1)(a2a2)0，即(a1)2(a2)0，即a2.故实数a的取值范围是2，1)故选C.10(2012福建，12)已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()A B C D【答案】Cf(x)3x212x93(x1)(x3)由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0，0a
79、bc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0，f(0)f(1)0，正确结论的序号是.11.(2015山西大同模拟，9)已知函数f(x)的定义域为3，)，且f(6)2.f(x)为f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示若正数a，b满足f(2a3b)2，则的取值范围是()A.(3，)B.C.(3，)D.【答案】A由导函数的图象可以看出f(x)在(3，0)上为减函数，在0，)上为增函数，由f(2a3b)2可得f(2a3b)f(6)又a，b为正数，故将此不等式组看作关于a，b的约束条件，画出可行域如图所示，结合图形，表示连接点(2
80、，3)和可行域内一点(x，y)的直线的斜率，结合图形可得其取值范围是(3，)思路点拨：本题根据已知条件找出a，b所满足的条件，画出区域，数形结合求解12(2015辽宁五校联考，12)设函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 012)，则函数f(x)的各极小值之和为()A BC D【答案】Df(x)(ex)(sin xcos x)ex(sin xcos x)2exsin x，若f(x)0，则x(22k，32k)，kZ.所以当x22k， kZ时，f(x)取得极小值，其极小值为f(22k)e2k2sin(22k)cos(22k)e2k2(01)e2k2，kZ.因为0x2 012，又在两个端
81、点的函数值不是极小值，所以k0，1 004，所以函数f(x)的各极小值构成以e2为首项，以e2为公比的等比数列，共有1 005项，故函数f(x)的各极小值之和为S1 005e2e4e2 010.二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)13(2013广东，10)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_【解析】yk，则y|x10，即当x1时，kk10，解得k1.【答案】114(2012辽宁，15)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_【解析】yf(x)，f(x)x，过P处的切线斜率为f(
82、4)4，过Q处的切线斜率为f(2)2，点P的坐标为(4，8)，点Q的坐标为(2，2)，在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2，解得A(1，4)，则点A的纵坐标为4.【答案】415(2015河南郑州二模，15)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是_【解析】f(x)3x22ax，函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，124a0，解得a3，即f(x)x33x24.当m1，1时，f(m)m33m24，f(m)3m26m.令f(m)0得m0，m2，m0时，f(m)min4.f(n)3n26n
83、在1，1上单调递增，f(n)的最小值为f(1)9.故f(m)f(n)minf(m)minf(n)min4913.【答案】1316(2014湖北武汉模拟，14)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元【解析】设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍去)则p，y，y变化关系
84、如下表：p(20，30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元【答案】3023 000三、解答题(共6小题，共74分)17(12分)(2015宁夏银川质检，17)已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若函数f(x)的图象在x2处的切线方程为yxb，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，)上为增函数，求a的取值范围解：(1)因为f(x)x(x0)，且f(x)在x2处的切线方程为yxb，所以解得a2，b2ln 2.(2)
85、若函数f(x)在(1，)上为增函数，则f(x)x0在(1，)上恒成立，即ax2在(1，)上恒成立所以a1.18(12分)(2015四川眉山质检，21)已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2在区间(t，3)内总不是单调函数，求m的取值范围解：(1)f(x)(x0)，当a0时，f(x)的单调增区间为(0，1)，减区间为1，)；当a0时，f(x)的单调增区间为1，)，减区间为(0，1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)得f(2)1，即a2，f(x
86、)2ln x2x3，g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)内总不是单调函数，即g(x)0在区间(t，3)内有变号零点由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，得m.所以m9.19(12分)(2014山东枣庄质检，20)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一
87、年的销售量为500万件经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41万元(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值解：(1)由题意，该产品一年的销售量为y.将x40，y500代入，得k500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y500e40x.所以L(x)(x30a)y500(x30a)e40x(35x41)(2)由(1)得，L(x)500e40x(x30a)e40x500e40x(31ax)当2a4时，L(x)500e40x(
88、31435)0，当且仅当a4，x35时取等号所以L(x)在35，41上单调递减因此，L(x)maxL(35)500(5a)e5.当4035x31a，L(x)031ax41.所以L(x)在35，31a)上单调递增，在31a，41上单调递减因此，L(x)maxL(31a)500e9a.综上所述当2a4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5a)e5万元；当40，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)因为e3，所以eln 3eln ，ln eln 3，即ln 3el
89、n e，ln eln 3.于是根据函数yln x，yex，yx在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及(1)的结论，得f()f(3)f(e)，即.由，得ln 33；由，得ln 3eln e3，所以3ee3.综上，6个数中的最大数是3，最小数是3e.(3)由(2)知，3ee33，3ee3.又由(2)知，得ee.故只需比较e3与e和e与3的大小由(1)知，当0xe时，f(x)f(e)，即.在上式中，令x，又e，则ln，从而2ln 2.由得，eln e2.72.7(20.88)3.0243，即eln 3，亦即ln eln e3，所以e
90、366e，即3ln ，所以e3.综上可得，3ee3ee33，即6个数从小到大的顺序为3e，e3，e，e，3，3.22(14分)(2014江苏，19)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则t1，所以m对任意t1成立因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0，
91、所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0，故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)0，即a1(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.