1、北京市西城区2020年4月高三数学试卷 第 1 页(共6页)西 城 区 高 三 统 一 测 试数 学2020.4本试卷分第卷和第卷两部分,第卷1至2页,第卷3至6页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合 A=x|x3,B=x|x2,则 AB=(A)(-,0)(B)(2,3)(C)(-,0)(2,3)(D)(-,3)2.若复数z=(3-i)(1+i),则|z|=(A)2 2(B)2
2、5(C)10(D)203.下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x-x3(D)y=2x4.设等差数列 an的前n 项和为Sn,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10(B)9(C)8(D)75.设 A(2,-1),B(4,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是(A)(x-3)2+y2=2(B)(x-3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D)(x+3)2+y2=86.设a,b,c 为非零实数,且ac,bc,则(A)a+bc(B)abc2(C)a+b2 c(D)1a+1b 2c北京市西城区2020年4月高三数学试卷 第 2 页(共6页)7
3、.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)2 2S,且2 3S(B)2 2S,且2 3S(C)2 2S,且2 3S(D)2 2S,且2 3S8.设a,b 为非零向量,则“|a+b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 绕着x 轴上一点旋转180;沿x 轴正方向平移;以x 轴为轴作轴对称;以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)(B)(C)(D)10
4、.设函数f(x)=x2+10 x+1,x0,|lgx|,x0.若关于x 的方程f(x)=a(aR)有四个实数解xi(i=1,2,3,4),其中x1x2x3x4,则(x1+x2)(x3-x4)的取值范围是(A)(0,101(B)(0,99(C)(0,100(D)(0,+)北京市西城区2020年4月高三数学试卷 第 3 页(共6页)第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(x+1x)6 的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a=(x2,2),b=(1,x)满足ab0)的一条渐近线方程为y=22x,则该双曲线的离心率为.14.函数f(x)=si
5、n(2x+4)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,)上单调递增,则 的最大值为.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.北京市西城区2020年4月高三数学试卷 第 4 页(共6页)三、解答题:本大题共6小题,共85
6、分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1平面 ABCD,底面 ABCD 满足ADBC,且 AB=AD=AA1=2,BD=DC=2 2.()求证:AB平面 ADD1A1;()求直线 AB 与平面B1CD1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知ABC 满足,且b=6,A=23,求sinC 的值及ABC 的面积.从B=4,a=3,a=3 2sinB 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.北京市西城区2020年4月高三数学试卷 第 5 页(共6
7、页)18.(本小题满分14分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:()试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;()从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X 的分布列和数学期望;()为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取 m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测
8、试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中aR.()若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处切线的倾斜角为 4,求a 的值;()已知导函数f(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x(1,e)时,f(x)-e2.北京市西城区2020年4月高三数学试卷 第 6 页(共6页)20.(本小题满分15分)设椭圆 E:x22+y2=1,直 线l1 经 过 点 M(m,0),直 线l2 经 过 点 N(n,0),直线l1直线l2,且直线l1,l2 分别与椭圆E 相交于A
9、,B 两点和C,D 两点.()若 M,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l1x 轴,求四边形ABCD 的面积;()若直线l1 的斜率存在且不为0,四边形 ABCD 为平行四边形,求证:m+n=0;()在()的条件下,判断四边形 ABCD 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(kN*)个整数a1,a2,ak 满足1a1a2akn,且a1+a2+ak=n,则称数组(a1,a2,ak)为n 的一个“正整数分拆”.记a1,a2,ak 均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn,a1,a2,ak 均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn.()写出整数4的所有“正整数分拆”;()对于给定的整数n(n4),设(a1,a2,ak)是n 的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k 的最大值;()对所有的正整数n,证明:fngn;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”(a1,a2,ak)与(b1,b2,bm),当且仅当k=m 且a1=b1,a2=b2,ak=bm 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)
