1、第15讲定积分与微积分基本定理1定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0.T3.答案：31辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负2能正确应用求定积分
2、的两种基本方法求简单的定积分(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分如：定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx.,学生用书P49P50)_定积分的计算_利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)|1x|dx.解(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)|1x|dx(1x)
3、dx(x1)dx|01.规律方法计算一些简单定积分的解题步骤：把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数；利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；计算原始定积分的值分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义，其所求的值可正可负1.计算下列定积分：(1)(3x22x1)dx；(2)dx；(3)edx.解：(1)(3x22x1)dx(x3x2x)24.(2)dx|ln 2.(3)edx2e|2e2._利用定积分计算平面图形的面积(高频
4、考点)_利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形面积；(2)利用平面图形的面积求参数(1)(2014高考山东卷)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2B4C2 D4(2)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_解析(1)令4xx3，解得x0或x2，S(4xx3)|844.故选D.(2)由题意知dxa2.又，则xa2.即aa2，所以a.答案(1)D(2)规律方法用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1
5、)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案2.(1)dx_(2)由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_解析：(1)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x1)2y21的面积的(如图中阴影部分)故dx.(2)如图所示，由yx210，得抛物线与x轴的交点分别为(1，0)和(1，0)所以S|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2. 答案：(1)(2)2_定积分在物理中的应用_(2013高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到
6、紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2解析由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.答案C规律方法定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.3.(20
7、15浙江杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m；力的单位：N)解析：变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx|342(J)答案：342,学生用书P50)交汇创新定积分与概率的交汇(2014高考福建卷)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又该正方形面积为e2，
8、故由几何概型的概率公式可得所求概率为.答案名师点评(1)本题利用求函数的定积分，转化为求几何概型的概率问题，是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势(2)利用定积分的几何意义，考查几何概型也是近几年很多省份的考查热点1.(2015衡水中学第二学期调研)在平面直角坐标系中，记抛物线yxx2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线ykx(k0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为()A.B.C.D.解析：选A.M的面积为(xx2)dx(x2x3)，A的面积为(xx2kx)dx(x2x3x2)(1k)3，k，故选A.2若m1，则f(m)dx的最
9、小值为_解析：f(m)dxm5451，当且仅当m2时等号成立答案：11设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间a，a上的定积分为f(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得f(x)dx可表示为()Af(x)dxB2f(x)dxC.f(x)dxD.f(x)dx解析：选B.偶函数的图象关于y轴对称，故f(x)dx对应的几何区域关于y轴对称，因而其可表示为2f(x)dx，应选B.2(2014高考江西卷)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D1解析：选B.f(x)x22f(x)dx，f(x)dx|2f(x)dx，f(x)dx.3(2015安徽合肥模拟)由曲线f(x)与
10、y轴及直线ym(m0)围成的图形的面积为，则m的值为()A2 B3C1 D8解析：选A.Sm20(m)dxm3m3，解得m2.4(2015大庆市高三年级第二次教学质量检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)5t(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止在此期间火车继续行驶的距离是()A(55 ln 10) m B(55 ln 11) mC(1255ln 7)m D(1255ln 6)m解析：选B.令5t0，注意到t0，得t10，即经过的时间为10 s；行驶的距离s(5t)dt5tt255ln(t1)55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为(55ln 11
11、) m.5(2015山西省第二次四校联考)定积分|x22x|dx()A5 B6C7 D8解析：选D.|x22x|，|x22x|dx(x22x)dx(x22x)dx8.6(2015辽宁省五校协作体高三上学期联考)0sindx_解析：依题意得0sindx0(sin xcos x)dx(sin xcos x)(sin 0cos 0)2.答案：27(2015吉林模拟)设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_解析：f(x)dx(ax2c)dxacf(x0)axc，x，x0.又0x01，x0.答案：8(2015石家庄市高中毕业班第一次模拟)(x)dx_解析：(x)
12、dxdxxdx，xdx，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以结果是.答案：9求下列定积分(1)(xx2)dx；(2)(cos xex)dx.解：(1)(xx2)dxxdxx2dxdx|ln x|ln 2ln 2.(2)(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.10已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1，1上的最大值与最小值解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得即f(x)ax22a.又f(x)dx(ax22a)dx|2a2.a6，从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1，1当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.
