1、23.2等比数列的前n项和1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题3掌握等比数列前n项和公式的有关性质1等比数列的前n项和公式Sn2等比数列前n项和具有的一些性质(1)连续m项的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍组成等比数列(注意这连续m项的和必须非零才能成立)(2)an为等比数列SnAqnA(A0，q0且q1)(3)SnmSmqmSn(q为公比)(4)当q1时，(注：1qm0)1已知数列an为等比数列，若2，S44，则S8等于()A12B24C16D32解析：选A.由题意知q42，所以S8S4q4S4S42S43S412
2、.2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则公比q_解析：因为a13，an96，所以q1.由Sn，得189，解得q2.答案：23在对等比数列求和时为什么要讨论q是否为1?解：当q1时，不能用公式Sn来求和等比数列前n项和公式的基本运算在等比数列中(1)若a1a310，a4a6，求a4和S5；(2)若q2，S41，求S8.【解】(1)a4a6q3(a1a3)，a1a310，所以q3，所以q，由a1a3a1(1q2)10，得a18，所以a4a1q38()31，S5.(2)由S41，得a1，所以S817.等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量
3、：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答 (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换1.等比数列an中，若a11，a4，则该数列的前10项和为()A2B2C2 D2解析：选B.由q3，得q，所以S1022，选B.2在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求q.解：因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两根从而或又Sn126，所以或.所以q为2或.等比数列前n项和性质的应用(1)已知等比数列an中，若前10项的和是10，前20项的和
4、是30，则前30项的和是_(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_【解析】(1)法一：因为数列an是等比数列，所以有S10，S20S10，S30S20成等比数列，所以(S20S10)2S10(S30S20)，即(3010)210(S3030)，即S303040，即S3070.法二：由性质SmnSnqnSm，得S20S10q10S10，即301010q10，所以q102.所以S30S20q20S10304070.(2)由题意，得解得所以q2.【答案】(1)70(2)2等比数列前n项和性质的应用(1)等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2
5、nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1) (2)若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0)1.在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A135B100C95 D80解析：选A.由等比数列的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为.所以a7a840135.2若等比数列an的公比为，且a1a3a9960，则an的前100项和为_解析：令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，由等比数列前n项和性质知：q，所以Y20，即S100XY80.答案：80数列的求和问题已知数列an和bn满足a1
6、2，b11，an12an(nN)，b1b2b3bnn(nN)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.【解】(1)由a12，an12an，得an2n(nN)由题意知：当n1时，b11.当n2时，b1b2b3bn1bnn，b1b2b3bn1n1，由，得bn1，所以bnn(nN)(2)由(1)知anbnn2n，因此，Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN)(1)一般地，若数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法 (2)运用等比数列前n项和公
7、式时，必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论(3)在写Sn和qSn的表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn.已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解：(1)等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1，2，3，)(2)由第一问知，an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.等
8、比数列前n项和的应用实例某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.008121.1)【解】设每期应付款x元，则第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(10.008)11，第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(10.008)10，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(10.008)11x(10.008)10xx.又所购电器的现价及其利息之和为2 0001.00812，于是有x2 0001.00812.解得x176(元)所以
9、每期应付款176元分期付款问题，实际上是等比数列求和问题，解题的关键是建立等量关系式 某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的增长率建新住房(1)如果10年后该地的住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.1102.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当地住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后1位)解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为：1.1ax；2年后住房总面积为：11(1.1ax)x1.12a1.1xx；3年后住房总面积为：11(1.12a1.1xx)
10、x1.13a1.12x1.1xx；10年后住房总面积为：1110a1.19x1.18x1.1xx1.110ax2.6a16x.由题意，得2.6a16x2a，解得xa(m2)(2)所求百分比为6.3%.1等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题时，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯2一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，且公比q1，求数列anbn的前n项和时，可采用“乘公比，错位相减法”求和3解决等比数列的和问题时，要注意Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等
11、比数例(注意连续n项和必须不为0)；掌握变形SmnSnqnSm的应用，并注意整体代换求值等比数列前n项和公式的应用，须注意前n项和公式要分q1和q1讨论，采用不同的公式形式，不可忽略q1的情况1首项为a的数列an既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为()Aan1BanC(n1)a Dna解析：选D.既是等差数列又是等比数列的数列为常数列2已知等比数列an中，S27，S428，则S8等于()A112 B252C280 D281解析：选C.显然数列公比不为1，则1q24，得q23.故1q41910，故S81028280.3已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3
12、是方程x25x40的两个根，则S6_.解析：因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且q1，所以a11，a34，则公比q2，因此S663.答案：634一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于其上面一层的2倍，一共点了381盏灯，则底层所点灯的盏数是_解析：由题意知每层所点灯的盏数构成一个等比数列，首项为x，公比为，则381，解得x192.答案：192 A基础达标1在等比数列an中，a18，q，an，则Sn等于()A15B8C D31解析：选C.Sn.2已知等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q()A2 B2C3 D3解析：选A.因为S33S20，所以0，即(1q)(q24q4)
13、0.解得q2或q1(舍去)3已知数列an是公比为3的等比数列，前n项和Sn3nk(nN)，则实数k为()A0 B1C1 D2解析：选C.由数列an的前n项和Sn3nk(nN)，当n1时，a1S13k；当n2时，anSnSn13nk(3n1k)23n1.因为数列an是公比为3的等比数列，所以a123113k，解得k1.4设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 BC D3解析：选B.法一：因为数列an是等比数列，所以S6S3q3S3，S9S6q6S3S3q3S3q6S3，于是3，即1q33，所以q32.于是.法二：由3，得S63S3.因为数列an是等比数列，且由题意知q1，所以S3，S6
14、S3，S9S6也成等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，解得S97S3，所以.5数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为()A BC D解析：选B.依题意bn，所以bn的前10项和为S10，故选B.6设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_解析：由S64S3，所以4，所以q33(q31不合题意，舍去)，所以a4a1q3133.答案：37已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于_解析：由题意，a1a2a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100
15、)100.答案：1008在等比数列an中，已知S3013S10，S10S30140，则S20等于_解析：因为S303S10，所以q1.由得所以所以q20q10120.所以q103，所以S20S10(1q10)10(13)40.答案：409已知等比数列an的通项公式为an2n，其前n项和为Sn.(1)求S9；(2)求数列an中第4项至第10项的和解：等比数列an的首项a12，公比q2.(1)S91 022.(2)a42416，a102101 024，设数列an中第4项至第10项的和为S，则S2 032.10数列an是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列bn的前三项分别是a1，a2，a6.
16、(1)求数列an的通项公式；(2)若b1b2bk85，求正整数k的值解：(1)设数列an的公差为d，因为a1，a2，a6成等比数列，所以aa1a6，所以(1d)21(15d)，所以d23d，因为d0，所以d3，所以an1(n1)33n2.(2)数列bn的首项为1，公比为q4，故b1b2bk.令85，即4k256，解得k4.故正整数k的值为4.B能力提升11已知数列an满足a11，a23，an23an(nN)，则数列an的前2 017项的和S2 017等于()A31 0092 B31 0091C32 0172 D32 0173解析：选A.因为数列an满足a11，a23，an23an(nN)，所以
17、3，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为3的等比数列，偶数项构成首项为3，公比为3的等比数列，所以数列an的前2 017项的和S2 017(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 016)(31 0091)(31 0093)31 0092.12已知数列an中，an4(1)n1n(nN)，则数列an的前2n项和S2n_解析：S2na1a2a2n4(1)014(1)124(1)234(1)2n12n4(1)0(1)1(1)2(1)2n1(1232n)n(2n1)答案：n(2n1)13已知等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)
18、求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.解：(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2S210，a52b2a3，得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，则n为奇数时，cn.n为偶数时，cn2n1，所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)(选做题)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)由题意有 即解得 或 故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.