1、高考资源网（） 您身边的高考专家第13讲导数与函数的极值、最值1函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，
2、b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值做一做1设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D.求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点，所以选D.2函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_解析：y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8.最大值为8
3、.答案：8 1辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念2明确两个条件一是f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件二是对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件做一做3已知x3是函数f(x)aln xx210x的一个极值点，则实数a_解析：f(x)2x10，由f(3)6100，得a12，经检验满足条件答案：12,学生用书P45P46)_函数的极值问题(高频考点)_函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有，高考对
4、函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知极值求参数值函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个B2个C3个 D4个解析依题意，记函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4.当ax0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，故极大值点有2个答案B规律方法运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：(1)先求函
5、数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点1.(1)已知函数f(x).求f(x)的极大值和极小值(2)已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点求a和b的值；设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解：(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)，当x变化时，f(x)、f(x)的符号变化情况如下：xx0x00x1x11x4f(x)000f(x)单调递增极
6、大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减f(x)的极大值为f(0)0和f(4)，f(x)的极小值为f(1).(2)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.由知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是x1或x2.当x2时，g(x)0；当2x0，故x2是g(x)的极小值点当2x1时，g(x)0，故x1不是g(x)的极值点所以g(x)的极小值点为x2，无极大值点_函数的最值问题_(2014高考江西卷)已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.(1)当a4时，求f
7、(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1，4上的最小值为8，求a的值.扫一扫进入91导学网()函数最值的求法解(1)当a4时，由f(x)0，得x或x2.由f(x)0，得x或x(2，)，故函数f(x)的单调递增区间为和(2，)(2)因为f(x)，a0，由f(x)0，得x或x.当x时，f(x)单调递增；当x时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增，易知f(x)(2xa)20，且f0.当1，即2a0时，f(x)在1，4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14，即8a2时，f(x)在1，4上的最小值为f0，不符合题意当4，即a8时，f(x)在1，4上的最小
8、值可能在x1或x4上取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8，得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为f(4)8，符合题意综上有a10.规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2.设函数f(x)aln xbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx
9、，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得10，又由h0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，当x(4，9时，y0，所以当x4时，y取最大值，ymaxln 40.411.2，即厂家分别投放A、B两种型号电视机价值为6万元和4万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约为1.2万元,学生用书P47)方法思想转化与化归思想求解曲线间交点问题(2014高考课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k
10、0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点名师点评(1)本题求解利用了转化与化归思想，把证明曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点问题转化为证明方程f(x)kx20只有一个根，分x0和x0两情况给予说明(2)转化与化归原则：一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题
11、通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题(2013高考北京卷)设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方解：(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1，所以L的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下
12、方1函数f(x)x23x4在0，2上的最小值是()ABC4 D解析：选A.f(x)x22x3，令f(x)0，得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0，2上的最小值是f(1).2(2015四川内江模拟)已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()Ac解析：选A.f(x)x2xc.因为函数f(x)x3x2cxd有极值，则方程x2xc0有两个不同的实根，所以14c0c9时，y0；当0x0.所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9是该函数的极大值点，又该函数在(0，)上只有一个极大值点，所以该函数在x9处取得最大值4已知
13、函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D2或解析：选A.由题意知，f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即，解得或，经检验满足题意，故.5设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：选C.由函数f(x)在x2处取得极小值，可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a2)内的函数值为正，在区间(2，b)(2b0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.6
14、函数y2x的极大值是_解析：y2，令y0，得x1.当x1时，y0；当1x0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_解析：令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而，解得，所以f(x)的单调递减区间是(1，1)答案：(1，1)8设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大
15、值点若a1，解得1a1.答案：(1，)9已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3，1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情
16、况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3，1上的最大值为13，最小值为.10(2015皖南八校第三次联考)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)xf(x)ax1，若g(x)在(0，)上存在极值点，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，x(，0)(0，)，f(x).当f(x)0时，x1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，0)和(0，1)(2)g(x)exax1，x(0，)，g(x)exa，当a1时，g(x)exa0，即g(x)在(
17、0，)上递增，此时g(x)在(0，)上无极值点当a1时，令g(x)exa0，得xln a；令g(x)exa0，得x(ln a，)；令g(x)exa1.1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x
18、)(x3)210(x3)(x6)2，3x0时，x2ex.解：(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上单调递增又g(0)10，因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.3已知函数f(x)x3ax1.(1)当x1时
19、，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在0，1上的最小值；(3)若对任意mR，直线yxm都不是曲线yf(x)的切线，求a的取值范围解：(1)因为f(x)x2a，当x1时，f(x)取得极值，所以f(1)1a0，a1，又x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值，即a1时符合题意(2)当a0时，f(x)0对x(0，1)恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x0处取得最小值f(0)1.当a0时，令f(x)x2a0，解得x1，x2，当0a1时，1，当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x处取得最小值f()1.当a1时，1.x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x1处取得最小值f(1)a.综上所述，当a0时，f(x)在x0处取得最小值f(0)1；当0a1，即a1.- 12 - 版权所有高考资源网