1、21数列21.1数列21.2数列的递推公式(选学)1.理解数列及其有关概念2.掌握数列的几种简单表示法3理解数列的性质，能借助函数的观点研究数列1数列的有关概念(1)数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，.(3)通项及表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，.其中an是数列的第n项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作.2数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(2)数列与函数数列
2、与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点数列的表示方法a图象法；b.列表法；c.通项公式法3数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第二项起，每一项大于它的前一项的数列递减数列从第二项起，每一项小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列4递推公式的概念(选学)如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(
3、或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，答案：C2数列an中，a1a21，an2an1an对所有正整数n都成立，则a10等于()A34B55C89 D100解析：选B.由递推公式求出数列的前10项是a11，a21，a32，a43，a55，a68，a713，a821，a934，a1055.3数列1，2，3，4，5，6与数列6，5，4，3，2，1是同一个数列吗？解：不是因为数列中的数是有先后顺序的它们虽所含数相同但顺序不同，不表示同一个数列4每一个数列都有通项公式吗？解：不是正如不
4、是所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，就没有通项公式观察、归纳数列的通项公式写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数(1)，2，8，；(2)1，3，5，7，9，；(3)9，99，999，9 999，.【解】(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an，nN.(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，考虑(1)n1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1
5、)，nN.(3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN.用观察法求数列的通项公式的方法(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式 (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以(1)n(nN)处理符号写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)，；(3)2，5，10，17；(4)，.解：(1)这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，因此它的一个通项公式是an2n1.
6、(2)分别观察这个数列前4项的分子和分母，分子为偶数列2n，分母为13，35，57，79.因此它的一个通项公式是an.(3)如果数列各项分别减1，则变为1，4，9，16，所以通项公式为ann21.(4)数列前4项的分母分别为2，22，23，24，其分子从第2项开始比分母少3，符号也是正负相间故当n1，a1，当n2时，an(1)n.即an数列通项公式的简单应用已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？【解】(1)a434228464，a636228660.(2)由3n228n49，解得
7、n7或n(舍去)，所以49是该数列的第7项；由3n228n68，解得n2或n，均不合题意，所以68不是该数列的项若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解：(1)因为an3n228n，所以a333228357，a838228832.(2)令3n228n20，解得n10或n(舍去)，所以20是该数列的第10项(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程
8、若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项 1.已知数列的通项公式为an则a2a3等于()A20B28C0 D12解析：选A.由通项公式知，a22222，a333110，故a2a320，选A.2数列an的通项公式为ann2n30.(1)问60是否是an中的一项？(2)当n分别取何值时，an0，an0，an0?解：(1)假设60是an中的一项，则n2n3060，解得n10或n9(舍去)所以60是an的第10项(2)令n2n300，解得n6或n5(舍去)，所以当n6时，an0；当0n0；当n6且nN时，an0.数列通项公式的综合运用已知函数f(x)2x2x，数列a
9、n满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明数列an是递减数列【解】(1)因为f(x)2x2x，f(log2an)2n，所以2log2an2log2an2n，an2n，所以a2nan10，解得ann.因为an0，所以ann，nN.(2)证明：1.因为an0，所以an1an，所以数列an是递减数列本题是函数、方程与数列结合与运用的典型要比较an与an1的大小，可以用作差法或作商法，即若an1an0，则an1an，可以判断数列an是递增数列；当an0时，若1，则an1an，也能判断数列an是递增数列对于递减数列，可以相应调整不等号的方向给出判断1.设an3n215n18，则
10、数列an中的最大项的值是()ABC4 D0解析：选D.因为an3，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.2已知数列an，ann(n1，2，3，)，试判断数列an的单调性解：因为1，而anan，即数列an为递增数列由数列的递推公式求数列的通项公式(选学)学生用书P17(1)已知数列an中，a11，an1an2，求数列an的通项公式(2)已知数列an满足a1，an1an，求数列an的通项公式【解】(1)因为a11，an1an2，所以a2a12，a3a22，a4a32，anan12.将以上各式等号两边分别相加，得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12
11、(n1)又因为a11，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由条件知，分别令n1，2，3，n1，代入上式得n1个等式，即，所以.又因为a1，所以an.(1)由递推公式写出通项公式的步骤先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)再根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式写出一个通项公式并证明(2)用累加法求数列的通项公式当anan1f(n)(n2)满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1累加来求通项公式an.(3)用累乘法求数列的通项公式当g(n)(n2)满足一定条件时，常用ana1累乘来求通项公式an. 已知数列an中，a12，an1anln，
12、求数列an的通项公式解：a2a1ln，a3a2ln，anan1ln(n2)，则ana1ln2ln n(n2)又a122ln 1也满足上式，所以an2ln n.故数列an的一个通项公式为an2ln n.1根据数列的前几项求其通项公式，一般不唯一，我们常取其形式上较简便的一个即可，求通项公式时一般可通过观察数列中各项的特点，进行变形分析，概括，然后得出结论，必要时可加以验证2由数列的通项公式可写出数列中的任一项，也可判断某一数是否为数列中的项，即建立以n为自变量的方程要注意n必须为正整数3数列作为一种特殊的函数，数列的增减性问题与一般函数单调性问题的解决方法相同，只是要注意n为正整数判断数列增减性
13、的方法常用的有作差法、作商法和图象法(1)数列作为一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上数列可以看成是以正整数集N或它的有限子集为定义域的函数，即自变量取值必须为正整数(2)在解决含有字母参数的问题时，要注意分类讨论思想的运用1下列说法正确的是()A数列1，3，5，7可表示为B数列1，0，1，2与数列2，1，0，1是相同的数列C数列的第k项是1D数列0，2，4，6，8，可表示为an2n(nN)解析：选C.对于A，是集合；对于B，是两个不同的数列，顺序不同；对于C，ak1；对于D，an2(n1)(nN)2已知数列，2，则2是该数列的()A第6项B第7项C第10项 D第11项解析：选B.
14、由题意知an(nN)，所以a72.3已知数列an的通项公式为an，按项的变化趋势，该数列是()A递增数列 B递减数列C摆动数列 D常数列解析：选B.因为an1an0，所以an1an.故该数列是递减数列4已知数列an，ancos n，0，a5，则a10_.解析：由a5cos 5，0知05，所以5，即，所以a10cos 10coscoscos()cos.答案：A基础达标1数列1，3，6，10，x，21，28，中，x的值是()A12B15C17 D18解析：选B.因为312，633，1064，所以x10515.2数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n Ban(1)nCan(1)n Dan(1)n
15、解析：选A.若是分式形式的要分别观察分子、分母与相应序号间的关系，观察可知分母为2n1，分子为n2，符号用(1)n调节3数列an：，3，3，9，的一个通项公式是()Aan(1)n(nN)Ban(1)n(nN)Can(1)n1(nN)Dan(1)n1(nN)解析：选B.把前四项统一形式为，可知它的一个通项公式为an(1)n，选B.4在递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是()AR B(0，)C(，0) D(，0解析：选C.因为an是递减数列，所以an1ank(n1)knk0.5已知数列an的通项公式为an，则满足an1an的n的取值为()A3 B4C5 D6解析：选C.由an
16、1an，得an1an0，解得n0成立的最大正整数n的值为_解析：由an2 0173n0，得nan；当n4时，an12；(2)数列an是递增数列还是递减数列？为什么？解：(1)证明：因为f(x)2，所以an2.因为nN，所以an2.(2)数列an为递减数列因为an2，所以an1an0，即an1an，所以数列an为递减数列B能力提升11已知数列，则0.96是该数列的第()A20项 B22项C24项 D26项解析：选C.由an，令0.96，解得n24.即a240.96.12数列an的通项公式anlog(n1)(n2)，则它的前30项之积是_解析：因为anlog(n1)(n2)，所以a1a2a305.
17、答案：513在数列an中，a13，a1767，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 016；(3)2 017是否为数列an中的项？若是，为第几项？解：(1)设anknb(k0)由a13，且a1767，得，解之得k4且b1.所以an4n1.(2)易得a2 01642 01618 063.(3)令2 0174n1，得nN，所以2 017不是数列an中的项14(选做题)如图所示，有n(n2)行(n1)列的士兵方阵：(1)若把n分别取2，3，4，5，时，士兵方阵的人数看作一个数列am写出这个数列的前4项(2)写出数列am的通项公式解：(1)n2时，士兵方阵的人数为236，n3时，士兵方阵的人数为3412，n4时，士兵方阵的人数为4520，n5时，士兵方阵的人数为5630，所以该数列的前4项分别为：6，12，20，30.(2)因为am的首项为6，此时n2.所以am中第m项为(m1)(m2)，即am(m1)(m2)(mN)