1、第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan()(，均不为k，kZ)扫一扫进入91导学网()两角和与差的正弦、余弦、正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.(，2均不为k，kZ)3三角公式关系做一做1若sin ，则cos ()ABC.D.解析：选C.因为sin ，所以cos 12sin212.2若，tan ，则tan()等于()AB.CD.答案：C 1辨明两个易误点(1)在使用两角和
2、与差的余弦或正切公式时运算符号易错(2)在(0，)范围内，sin()所对应的角不是唯一的2熟悉公式的逆用及变形用(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.3角的变换技巧()；()；()()；()()；.做一做3sin 68sin 67sin 23cos 68的值为()AB.C. D1答案：B4已知tan，tan，则tan()的值为()A.B.C. D1答案：D,学生用书P60P61)_三角函数公式的直接应用_(2014高考广东卷)已知函数f(x)Asin
3、，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.解(1)fAsinAsin Asin A，A.(2)由(1)知f(x)sin，故f()f()sinsin，cos ，cos .又，sin ，fsin()sin .规律方法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的1.已知(0，)，tan ，求tan 2和sin(2)的值解：tan 2.(0，)，2(0，)，tan 20，2(0，)，sin 2，cos 2，sin(2)sin 2coscos 2sin._三角函数
4、公式的活用(高频考点)_三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角公式高考对三角公式的考查主要有以下三个命题角度：(1)应用正切公式的变形；(2)降幂公式的应用；(3)二倍角公式的逆用求值：(1)；(2)tan 20tan 40tan 20tan 40.解(1)原式4.(2)tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan(2040)(1tan 20tan 40)(1tan 20tan 40)tan 20tan 40tan 20tan 40(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.规律方法运用
5、两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用2.(1)(2015洛阳市高三年级统考)已知sin 2，则cos2()ABC.D.(2)若，则(1tan )(1tan )的值是_(3)coscoscos()A BC.D.解析：(1)cos2，cos2.(2)1tantan()，tan tan 1tan tan .1tan tan tan tan 2，即(1tan )
6、(1tan )2.(3)coscoscoscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案：(1)D(2)2(3)A_角的变换_(1)设tan()，tan，则tan()A.B.C. D.(2)(2015贵州六盘水二模)已知cos ，cos()，且、，则cos()的值等于()A B.C D.解析(1)tantan.(2)，2(0，)cos ，cos 22cos21，sin 2，而，(0，)，sin()，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().答案(1)C(2)D本例(2)条件不变，求cos 2的值解：cos ，cos()，且，sin ，si
7、n()，cos cos()cos()cos sin()sin .cos 22cos2121.规律方法(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3.已知，且sincos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解：(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，.所以，故.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().考题溯源二倍角公式的应用(201
8、3高考四川卷)设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析sin 2sin ，2sin cos sin .，sin 0，cos .又，tan 2tan tantan .答案考题溯源本考题源于教材人教A版必修4 P135练习T3“已知sin 2sin ，求tan 的值”的变式而成1.(2015东北三校联考)已知sin cos ，则sin2()A.B.C. D.解析：选B.sin cos ，(sin cos )212sin cos ，sin 2，sin2.故选B.2(2015唐山市第一次模拟)若sin，则cos()A B.C D.解析：选A.sin，sin，cos，cos2cos2121.1(2
9、015大连市第一次模拟)若角的终边过点(1，2)，则cos(2)的值为()A.BC. D解析：选A.由三角函数定义得cos ，cos(2)cos 2(2cos21).2(2015湖南衡阳模拟)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的值为()A. B.C. D.解析：选B.原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin 45.3设，均为锐角，且cos()sin()，则tan 的值为()A2 B.C1 D.解析：选C.由cos()sin()得cos
10、cos sin sin sin cos cos sin ，即cos (cos sin )sin (cos sin )，因为为锐角，所以cos sin 0，所以cos sin ，所以tan 1.4已知cos，则cos xcos的值是()A BC1 D1解析：选C.cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.5若cos ，是第三象限的角，则等于()A B.C2 D2解析：选A.因为是第三象限的角，且cos ，所以sin .6(2015大庆市第二次教学质检)已知，sin ，则tan 2_解析：，sin ，cos ，tan 2，tan 2.答案：7化简_解析：原式tan
11、(902).答案：8(2015烟台模拟)已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，、(0，)，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos _解析：依题设及三角函数的定义得：cos ，sin().又0，sin ，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .答案：9化简：解：tan .10(2014高考江苏卷)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解：(1)因为，sin ，所以cos .故sinsincos cossin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin212，所以coscoscos
12、 2sinsin 2.1(2015衡水中学高三第二学期二调)()A4 B2C2 D4解析：选D.4，故选D.2(2015山西晋中名校高三联合测试)对于集合a1，a2，an和常数a0，定义：为集合a1，a2，an相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为()A. B.C. D与a0有关的一个值解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”.3设为锐角，若cos，则sin的值为_解析：因为为锐角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsin.答案：4已知sin(45)，090，则cos _解析：090，454545，cos(45)，cos cos(45)45cos(45)cos 45sin(45)sin 45.答案：5求证：tan .证明：左边右边原式得证6(选做题)已知sin cos ，sin，.(1)求sin 2和tan 2的值；(2)求cos(2)的值解：(1)由题意得(sin cos )2，即1sin 2，sin 2.又2.cos 2，tan 2.(2)，sin，cos，于是sin 22sincos.又sin 2cos 2，cos 2，又2，sin 2，又cos2，cos ，sin .cos(2)cos cos 2sin sin 2.