1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x2x20，B=x|1x3，则（RA）B=（）AA、（1，2B1，2C（1，3D（，1）（2，+）2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A3B2CD13“辗转相除法”的算法思路如右图所示记R（ab）为a除以b所得的余数（a，bN*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A0B1C9D184设xR，则“x1”是“x|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
2、件D既不充分也不必要条件5如图，圆O是ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A5B4CD36若双曲线=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A=1B=1C=1D=17已知定义在R上的函数f（x）=x2+|xm|（m为实数）是偶函数，记a=f（loge），b=f（log3），c=f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）AabcBacbCcabDcba8已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x（0，2）时f（x）=ln（x2x+b），若函数f（x）在区间2，2
3、上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）A1b1B1b1或b=CbDb1或b=二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。9若复数是纯虚数，则实数a的值为_10在（x）8的展开式中，的系数为_11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_12曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为_13如图，在ABC中，B=，BAC的平分线交BC于点D，AD=，AC=，则ABC的面积为_14如图，已知l1，l2，l3，ln为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l1的距离为2，A，B是l1的上的不同两点，点P1，P2，P3，Pn分别在直线l1，l2，l3，ln上若=x
4、n+yn（nN*），则x1+x2+x5+y1+y2+y5的值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15已知函数f（x）=4sinxsin（x+）1（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值16甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判设各局比赛双方获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判（）求第四局甲队当裁判的概率；（）用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望17已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的
5、侧棱AA1底面ABCD，ABCD是等腰梯形，ABDC，AB=2，AD=1，ABC=60，E为A1C的中点（）求证：D1E平面BB1C1C；（）求证：BCA1C；（）若A1A=AB，求二面角A1ACB1的余弦值18已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，向量=（Sn，an+1），=（an+1，4）（nN*），且（）求an的通项公式（）设f（n）=bn=f（2n+4），求数列bn的前n项和Tn19已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在轴上，焦距为2，离心率为（）求椭圆C的方程；（）若P是椭圆C上第一象限内的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，半径为求：（i）点P的坐标；（ii）直线PI的方程2
6、0已知函数f（x）=emx+x2mx（mR）（）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若m0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直（i）当x0时，试比较f（x）与f（x）的大小；（ii）若对任意x1，x2（x1x2），且f（x1）=f（x2），证明：x1+x202015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x2x20，B=x|1x3，则（RA）B=（）AA、（1，2B1，2C（1，3D（，1）（2，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分
7、析】化简集合A，求出RA，再计算（RA）B【解答】解：集合A=x|x2x20=x|x1或x2=（，1）（2，+），RA=1，2；又B=x|1x3=（1，3，（RA）B=（1，2故选：A2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A3B2CD1【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1故选：D3“辗转相除法”的算法思路如右图所示记R（ab
8、）为a除以b所得的余数（a，bN*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A0B1C9D18【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=243，b=45y=18，不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9故选：C4设xR，则“x1”是“x|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分
9、析】x|x|1，对x分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出【解答】解：x|x|1，当x0时，化为x21，恒成立；当x0时，化为x21，解得0x1综上可得：x|x|1的解集为：x|x1“x1”是“x|x|1”的充要条件故选：C5如图，圆O是ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A5B4CD3【考点】与圆有关的比例线段【分析】由切割线定理求出AB=BC=5，由弦切角定理得到BCDCAD，由此能求出AC【解答】解：圆O是ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，AD=4，CD=6，ACD=ABC，CD2=ADBD，即36=4（4+AB），解得AB=5
10、，BC=5ACD=ABC，D=D，BCDCAD，解得AC=故选：C6若双曲线=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解：双曲线=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，=，一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，c=5，a=2，b=，双曲线的方程为=1故选：A7已知定义在R上的函数f（x）=x2+|xm|（m为实数）是偶函数，记
11、a=f（loge），b=f（log3），c=f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）AabcBacbCcabDcba【考点】分段函数的应用【分析】利用f（x）是定义在R上的偶函数，可得m=0，化简a，c，利用函数在（0，+）上是增函数，可得a，b，c的大小关系【解答】解：由f（x）为R上的偶函数，可得f（x）=f（x），即为x2+|xm|=x2+|xm|，求得m=0，即f（x）=x2+|x|，当x0时，f（x）=x2+x递增，由a=f（loge）=f（log3e）b=f（log3），c=f（em）=f（e0）=f（1），又log31log3e，可得f（log3）f（1）f（
12、log3e），即有bca故选：B8已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x（0，2）时f（x）=ln（x2x+b），若函数f（x）在区间2，2上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）A1b1B1b1或b=CbDb1或b=【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意知f（0）=f（2）=f（2）=0，从而化为f（x）=ln（x2x+b）在（0，2）上有且只有一个零点，从而解得【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，f（2）=f（2），又f（x）的周期为4，f（2）=f（2），f（2）=f（2）=0，f（x）=ln（x2x+b）在（0，2）上有且只有一个零点，方程x2x+b=1
13、在（0，2）上有且只有一个解，b=x2+x+1=（x）2+，b=或1b1时，有且只有一个解，1b时，有两个解，故选：B二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。9若复数是纯虚数，则实数a的值为1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，根据复数是一个纯虚数，得的复数的实部等于0，而虚部不等于0，得的a的值【解答】解：复数=，复数是一个纯虚数，1a=0，1+a0，a=1，故答案为：110在（x）8的展开式中，的系数为56【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，
14、求出r的值，即可求得展开式中的系数【解答】解：（x）8的展开式的通项公式为Tr+1=（1）rx82r，令82r=2，求得r=5，故展开式中，的系数为=56，故答案为：5611某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意作图，从而可得其由三棱柱截去三棱锥得到，从而解得【解答】解：由题意作图如下，其由三棱柱截去三棱锥可得，其中三棱柱的体积V=112=1，被截去的三棱锥的体积V=111=，故该几何体的体积为1=，故答案为：12曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出导数和切线的斜率，可
15、得切线的方程，根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：y=x2在（2，1）点处的切线l，则y=x，直线l的斜率k=y|x=2=1，直线l的方程为y1=x2，即y=x1，当y=0时，x1=0，即x=1，所围成的面积如图所示：S=x2dx11=x3|=故答案为：13如图，在ABC中，B=，BAC的平分线交BC于点D，AD=，AC=，则ABC的面积为【考点】相似三角形的性质【分析】设AB=a，BAD=，则，由此求出cos，进而求出AB和AC，从而能求出ABC的面积【解答】解：设AB=a，BAD=，在ABC中，B=，BAC的平分线交BC
16、于点D，AD=，AC=，整理，得=2cos=，设cos=x，解方程2x=，解x=，或x=，090，x0，cos，AB=a=ADcos，BC=，ABC的面积为S=故答案为：14如图，已知l1，l2，l3，ln为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l1的距离为2，A，B是l1的上的不同两点，点P1，P2，P3，Pn分别在直线l1，l2，l3，ln上若=xn+yn（nN*），则x1+x2+x5+y1+y2+y5的值为10【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由题意作图，从而由三点共线的性质解得x1+y1=1，x2+y2=，从而解得【解答】解：由题意作图象如下，=x1+y1，且A，B，P1
17、三点共线，x1+y1=1，A1，B1，P2，三点共线，存在x+y=1，使=x+y，=， =，又=x2+y2，x2+y2=，同理可得，x3+y3=2，x4+y4=，x5+y5=3，故x1+x2+x5+y1+y2+y5=1+2+3=10；故答案为：10三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15已知函数f（x）=4sinxsin（x+）1（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x），利
18、用周期公式即可得解（2）由x0，可求2x，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】（本题满分为13分）解：（1）f（x）=4sinxsin（x+）1=2sinx（cosx+sinx）1=2sinxcosx+2sin2x1=sin2xcos2x=2sin（2x），4分函数f（x）的最小正周期T=7分（2）x0，2x，当x=时，f（x）max=2，9分当x=0时，f（x）min=1，13分16甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判设各局比赛双方获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判（）求第四局甲队当裁判
19、的概率；（）用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A），第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件A2），可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件A1），A1和A2都发生，A才发生，由此能求出第四局甲队当裁判的概率（）由题意S的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A），第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件A2），
20、可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件A1），A1和A2都发生，A才发生，即P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=（）由题意S的所有可能取值为0，1，2，记“第三局乙丙比赛，乙胜丙”为事件A3，“第一局比赛，乙胜丙”为事件B1，“第二局乙甲比赛，乙胜甲”为事件B2，“第三局比赛乙参加比赛，乙负”为事件B3，P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）=，P（X=2）=P（）=P（）P（B3）=，P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 PE（X）=17已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1底面ABCD，ABCD是等腰梯形，
21、ABDC，AB=2，AD=1，ABC=60，E为A1C的中点（）求证：D1E平面BB1C1C；（）求证：BCA1C；（）若A1A=AB，求二面角A1ACB1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（）取A1B1中点F，连结D1F，EF，B1C，由中位线定理，得EFCB1，从而得到四边形D1C1B1F为平行四边形，进而平面D1EF平面BB1C1C，由此能证明D1E平面BB1C1C（）以A为坐标原点，直线AB、AA1分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BCA1C（）求出平面A1AC的法向量和平面AB1C的法向量，利用向量法能求出二面
22、角A1ACB1的余弦值【解答】证明：（）取A1B1中点F，连结D1F，EF，B1C，EF是A1CB1的中位线，EFCB1，ABDC，A1B1D1C1，又AB=2，AD=1，ABC=60，D1C1=1，D1C1=FB1，四边形D1C1B1F为平行四边形，D1FC1B1，又EFD1F=F，CB1C1B1=B1，平面D1EF平面BB1C1C，又D1E平面D1EF，D1E平面BB1C1C（）以A为坐标原点，直线AB、AA1分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=a，则B（0，2，0），C（，0），A1（0，0，a），=（），=（），=，BCA1C解：（）A1A=AB=2，A（0，0，0），B1
23、（0，2，2），C（，0），A1（0，0，2），=（，0），=（0，0，2），=（0，2，2），设=（x，y，z）是平面A1AC的法向量，则，取y=1，得=（，1，0），设是平面AB1C的法向量，则，取c=1，得=（），设二面角A1ACB1的平面角为，则cos=|cos|=，二面角A1ACB1的余弦值为18已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，向量=（Sn，an+1），=（an+1，4）（nN*），且（）求an的通项公式（）设f（n）=bn=f（2n+4），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；平面向量数量积的运算【分析】（）通过可知Sn=+an+，进而与Sn1=+an1+（n2）
24、作差、整理可知数列an是公差为2的等差数列，进而计算可得结论；（）通过（I）可知b1=a2=5、b2=a1=1，当n3时bn=2n1+1，整理即得结论【解答】解：（）向量=（Sn，an+1），=（an+1，4）（nN*），且，Sn=+an+，当n2时，Sn1=+an1+，两式相减得：（an+an1）（anan12）=0，数列an的各项均为正数，当n2时，anan1=2，即数列an是公差为2的等差数列，又a1=S1=+a1+，解得：a1=1，an=1+2（n1）=2n1；（）依题意，b1=f（6）=f（3）=a2=5，b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，当n3时，bn=f（2
25、n+4）=f（2n2+1）=2（2n2+1）1=2n1+1，故n3时，Tn=5+1+（22+1）+f（2n1+1）=6+（n2）=2n+n，综上可知Tn=19已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在轴上，焦距为2，离心率为（）求椭圆C的方程；（）若P是椭圆C上第一象限内的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，半径为求：（i）点P的坐标；（ii）直线PI的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分析】（）设椭圆C的方程为+=1，（ab0），由焦距为2，离心率为，列方程组解得a2=4，b2=3，由此能求出椭圆C的方程（）（i）由|PF1|+|PF2|=4，得|PF1|+|
26、PF2|+|F1F2|=6，利用PF1F2的面积能求出P点坐标（ii）先求出直线PF1的方程，设I（），由点到直线的距离公式能求出直线PI的方程【解答】解：（）设椭圆C的方程为+=1，（ab0），由题意得，解得a2=4，b2=3，椭圆C的方程为（）（i）|PF1|+|PF2|=4，在PF1F2中，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6，PF1F2的面积=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）r=，又=，由，得xP=1，P（1，）（ii）P（1，），F1（1，0），直线PF1的方程为=，3x4y+3=0，PF1F2的内切圆的半径为，设I（），则=，解得或直线PI的方程为y=2x20已知函数f
27、（x）=emx+x2mx（mR）（）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若m0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直（i）当x0时，试比较f（x）与f（x）的大小；（ii）若对任意x1，x2（x1x2），且f（x1）=f（x2），证明：x1+x20【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）将m=1代入f（x），求出f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；（）求出f（x）的导数，得到memm=e1，令h（m）=memme1，求出h（m）的导数，得到m的值；（i）根据做差法判断即可；（ii）问题转化为f（x1）f（x2）
28、f（x2），根据函数的单调性判断即可【解答】解：（）当m=1时，f（x）=ex+2x1=（ex1）+2x，若x0，则ex10，f（x）0，若x0，则ex10，f（x）0，综上，f（x）在（0，+）递增，在（，0）递减；（）曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直，且f（x）=m（emx1）+2x，f（1）=mem+2m=e+1，故memm=e1，令h（m）=memme1，则h（m）=em+mem1，m0，h（m）0，h（1）=0，m0，方程memm=e1有唯一解m=1，（i）当x0时，令g（x）=f（x）f（x）=exex2x，则g（x）=ex+ex222=0，g（x）在x0时递增，即g（x）g（0）=0，故x0时，f（x）f（x），（ii）若对任意x1，x2（x1x2），且f（x1）=f（x2），由（）得：x1，x2必一正一负，不妨设x10x2，由（i）得：f（x1）f（x2）f（x2），而由（）得：m=1时，函数f（x）在（，0）递减，x1x2，即x1+x202016年9月16日高考资源网版权所有，侵权必究！