1、1 离散型随机变量及其分布列01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、随机变量的概念及其表示1随机变量的定义将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都_，这种对应称为一个随机变量2随机变量通常用大写的英文字母，如_来表示对应于一个数X，Y二、离散型随机变量1定义随机变量的取值能够_，这样的随机变量称为离散型随机变量2性质(1)pi0；(2)p1p21.三、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量 X 的取值为 a1，a2，随机变量 X 取 ai 的概率为 pi(i1,2，)，记作：P(Xai)pi(i1,2，)，(1)一一列举出来或把上式列成表：Xaia1a2P
2、(Xai)p1p2上表或(1)式称为离散型随机变量 X 的分布列双基自测110 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是()A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的概率C解析：对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D 也是一个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量2下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()A.X101P141214B.X012P143412C.X012P152535D.X101P141412D解析：A 中，X 的取值出现了重复性；B 中，P(X0)140；C 中，152535651；D 中，1414
3、121，故选 D.3抛掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么 4 表示的试验结果是()A一枚是 3 点，一枚是 1 点B两枚都是 2 点C两枚都是 4 点D一枚是 3 点，一枚是 1 点或两枚都是 2 点D探究一 离散型随机变量的判定 例 1 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔 50 m 有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号；(4)江西九江市长江水位监测
4、站所测水位在(0,29(dm)这一范围内变化，该水位站所测水位.解析(1)从 10 个球中取 3 个球，所得的结果有以下几种：3 个白球，2 个白球和 1个黑球，1 个白球和 2 个黑球，3 个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因此是离散型随机变量(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量(3)是离散型随机变量因为电线铁塔为有限个，其编号从 1 开始可一一列出(4)不是离散型随机变量因为水位在(0,29(dm)这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出离散型随机变量的两个特点(1)试验结果是随机的；(2)试验结果可按一定顺序一一列出1下列变量
5、中属于离散型随机变量的有_在 2 016 张已编号的卡片(从 1 号到 2 016 号)中任取一张，被取出的编号数为 X；连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数 X；从 2 016 张已编号的卡片(从 1 号到 2 016 号)中任取 3 张，被取出的卡片的号数和 X；一天之内的温度的取值 X；投掷一个骰子，六面都刻上数字 6，所得的点数 X.解析：中变量 X 的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，中 X 的取值为某一范围内的实数，无法列出，不是离散型随机变量，中 X 的取值确定，是 6，不是随机变量答案：探究二 求离散型随机变量的分布列 例 2 一个口袋里有 5 个同样大小
6、的球，编号为 1,2,3,4,5，从中同时取出 3 个球，以X 表示取出的球的最小编号，求随机变量 X 的概率分布解析 X 所有可能的取值为 1,2,3.当 X1 时，其余两球可在余下的 4 个球中任意选取，P(X1)C24C3535；当 X2 时，其余两球在编号为 3,4,5 的球中任意选取，P(X2)C23C35 310；当 X3 时，取出的球只能是编号为 3,4,5 的球，P(X3)1C35 110.随机变量的概率分布为：X123P35310110(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量 X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出 X 取每个值的概率，最后列出
7、分布列(2)求离散型随机变量 X 的分布列的步骤：首先确定 X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率 P(Xxi)pi；最后列成表格的形式2袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止求取球次数 X 的分布列解析：X 的可能取值为 1,2,3,4,5，则第 1 次取到白球的概率为 P(X1)15，第 2 次取到白球的概率为 P(X2)451415，第 3 次取到白球的概率为 P(X3)45341315，第 4 次取到白球的概率为 P(X4)4534231215，第 5 次取到白球的概率为 P(X5)453423121115.所以 X 的分布列是
8、：X12345P1515151515 探究三 离散型随机变量分布列的性质的应用 例 3 设随机变量 X 的概率分布为 P(Xk5)ak(k1,2,3,4,5).(1)求常数 a 的值；(2)求 P(X35)；(3)求 P(110X 710)解析 题目所给随机变量 X 的概率分布为：X1525354555Pa2a3a4a5a(1)由 a2a3a4a5a1，得 a 115.(2)解法一 P(X35)P(X35)P(X45)P(X55)315 415 51545.解法二 P(X35)1P(X25)1(115 215)45.(3)因为 110X 710，所以 X15，25，35.故 P(110X 71
9、0)P(X15)P(X25)P(X35)115 215 31525.利用分布列的性质解题时要注意的两个问题(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的(2)p1p21，且 pi0，i1,2.3设随机变量 的分布列为：123P141214试计算事件(12)和(32 72)的概率解析：因为事件(12)只包含基本事件(1)，故 P(12)P(1)14.同理，事件(32 72)包含基本事件(2)和(3)，所以 P(3272)P(2)P(3)121434.随机变量分布列的综合应用 典例(本题满分 12 分)一盒中有 9 个正品零件和 3 个次品零件，每次取出 1个零件如果取出的是次品零件，则不再放回求在取得正
10、品零件前已取出的次品数 X 的分布列，并求 PX52 的值解 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.2 分X0 表示第一次取到正品则 P(X0)C19C11234.4 分X1 表示第一次取到次品，第二次取到正品则 P(X1)A13C19A212 944.同理求得P(X2)A23C19A312 9220，P(X3)A33C19A412 1220.因此随机变量 X 的分布列为X0123P349449220122010 分故 PX52 P(X0)P(X1)P(X2)34 944 9220219220.12 分规范与警示 1.在处，准确地写出随机变量 X 的所有取值，是解决本题的关键点若对题
11、意理解不清，在处会误解为C13C19C312，是解决本题的易失分点；若对题意理解不清，在处会误解为C23C19A312，是解决本题的又一易失分点2防范措施：在确定随机变量 X 的所有可能取值时要全面考虑，不可漏解如本例中易忽视 X0的情形设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 X 表示方程 x2bxc0 实根的个数(重根按一个计)(1)求方程 x2bxc0 有实根的概率；(2)求 X 的分布列解析：(1)由题意知，设基本事件空间为，记“方程 x2bxc0 没有实根”为事件 A，“方程 x2bxc0 有且仅有一个实根”为事件 B，“方程 x2bxc0 有两个相异实根”为事件 C，则(b，c)|b，c1,2，6，A(b，c)|b24c0，b，c1,2，6，B(b，c)|b24c0，b，c1,2，6，C(b，c)|b24c0，b，c1,2，6，所以 中的基本事件总数为 36，A 中的基本事件总数为 17，B 中的基本事件总数为 2，C中的基本事件总数为 17.又因为 B，C 是互斥事件，故所求概率 PP(B)P(C)23617361936.(2)由题意，X 的可能取值为 0,1,2，则P(X0)1736，P(X1)118，P(X2)1736，故 X 的分布列为X012P17361181736 03 课后 巩固提升