1、高中数学 选修1-12.3.2 双曲线的几何性质一、温故知新1.焦点在x轴上的双曲线方程为:222210,0 xyabab222210,0yxabab焦点在y轴上的双曲线方程为:二、互动探究问题1.已知双曲线的标准方程为，你能发现它的性质吗？22143xy2.双曲线具有哪些性质？我们应怎样研究它的性质？类比椭圆在双曲线的标准方程中，把 X 换成 X 方程不变，这说明当点在双曲线上时，点 P 关于 Y 轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于 Y 轴对称。,P x y1,Px y同理：双曲线还关于 X 轴、坐标原点对称。结论：1.双曲线是有对称性。2.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心
2、。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。该结论具有一般性吗？xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)对称性：从方程角度看：22143xy在双曲线的标准方程中，令得，这说明是双曲线与 X 轴的两个交点。我们把这两个点称为双曲线的顶点。0y xa 12,0,0AaAa令得，这个方程没有实数根，说明双曲线与 Y 轴没有交点，但为了方便画图，我们把也画在Y轴上。120,0,BbBb0 x 22yb 从方程角度看：顶点：若实轴长和虚轴长相等,即2a=2b,则该双曲线称为等轴双曲线。线段叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a，a 叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b
3、 叫做双曲线的虚半轴长。12A A12B Bxyo-b1B2Bb1A2A-aa从方程角度看：222222211122434310034xyxyxxyxyyR 或这说明双曲线是有范围的。对一般的双曲线你有怎样的结论？22221xyab结论：双曲线位于不等式所表示的平面区域内。-xaxa与-;xaxayR或范围简记：XYO aa范围：222210043432233002233.002233xyxyxyxyxyxyxyxy 即：或33223322xxyyxxyy 即:或通过方程，你还能发现怎样的不等关系？所以，双曲线是在以和为边界的平面区域内。32yx32yx XYO 232yx32yx 对一般的双
4、曲线你有怎样的结论？22221xyab结论：双曲线是在以和为边界的平面区域内。byxabyxa 从 x,y 的变化趋势来看，双曲线与直线具有怎样的关系？22221xyabbyxa 根据对称性，可先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。byxa双曲线.gspXYO abyxabyxa a通过观察可以发现，随着M点横坐标 X 的逐渐增大，线段MP的长度逐渐减小，因此，M到直线的距离逐渐减小，且逐渐趋向于0.byxa这说明，随着 X 的增大，双曲线在第一象限内的点与直线逐渐接近。根据双曲线的对称性，双曲线的各支向外延伸时，与直线和逐渐接近，但始终不会相交。byxa22221xyabbyxabyxa
5、 我们把两条直线叫做双曲线的渐近线。byxa 22221xyab等轴双曲线的两条渐近线方程为，它们相互垂直。yx 设点是双曲线在第一象限内图形上任一点，点 P 是直线上与 M 有相同横坐标的点，则byxaPbyxa,M x y22222221,0Pxyyabbbbbyxaxxxyaaaa222222PbbbabMPyyxxaxxaaaaxxa2222222221bbxaxabxayba badxxacccabxxa设点M到直线的距离设为d,则byxa证明：离心率：椭圆的离心率反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，对双曲线的形状是否有影响呢？ca从图上看：双曲线夹在两条渐近线之间，这说明了的
6、大小决定了双曲线开口的大小。越大，双曲线的开口越大，越小，双曲线的开口越小。22221xyabbyxa bababa双曲线.gsp2.gsp从角度看：ba显然 e1.e 越大开口越大；e 越小开口越小。定义：焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记为 e。ca越大，双曲线的开口越大，越小，双曲线的开口越小。cacaca从角度看：2222221ccabbaaaa 由知1A2A1B2Bxyobyxa byxaab三、课堂小结请你从图形角度以为例，谈谈双曲线的几何性质。22221(0,0)xyababax 或axayay 或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围对称性顶点渐近线离心率图象悲伤的双曲线MV（原画）.mp4谢谢欣赏