1、4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念一、指数函数的概念知识梳理指数函数的概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,定义域是.y=ax(a0,且a1)指数x R 通过具体实例引入指数函数的定义，培养数学抽象的核心素养通过指数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养。理解指数函数的定义，会求函数的定义域以及定区间的值域。体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂【思考】(1)指数函数的解析式有怎样的结构特征?(2)指数函数的定义中,为什么规定底数 a0,且 a1?提示:底数是大于0,且不等于1的常数.指数是自变量x.ax的系数必须是1.提示:若 a=1,则 y=1x=1
2、是一个常量,没有研究的必要.若 a=0,则当 x0 时,ax恒等于 0,当 x0 时,ax无意义.若 a0,且 a1.基础测试1.若函数 y=(a-2)ax 是指数函数,则()A.a=1 或 a=3B.a=1C.a=3D.a0,且 a1【解析】选C.因为函数y=(a-2)ax是指数函数,所以a-2=1,解得a=3.C 二、指数增长(衰减)模型知识梳理指数增长(衰减)模型设原有量为 N,每次的增长率为 p,经过 x 次增长,该量增长到 y,则,形如 y=kax(kR,且 k0,a0,且 a1)的函数是刻画指数或指数变化规律的非常有用的函数模型.y=N(1+p)x(xN)增长 衰减【思考】指数增长
3、型或指数衰减型函数 y=kax(k0)中,分别对 a有什么要求?提示:当a1时为指数增长型函数,当0a0,且 a1【解 析】选C.由 指 数 函 数 的 定 义,得解得 a=2.C 方法规律 指数函数的解析式的三个关注点(1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数;(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上;(3)ax的系数必须为 1.【跟踪训练】1.若函数 f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则 f(1)=()A.8 B.C.4D.2【解 析】选 D.因 为 函 数 f(x)=(2a-3)ax是指数函数,所以2a-3=1,解得a=2.所以f(x)=2x,所以f(1)=2.D 2.若函数 f(x
4、)=(2a-1)x是指数函数,则实数 a 的取值范围是.解析:由题意可知解得 a,且 a1.所以实数 a 的取值范围是(,1)(1,+).(,1)(1,+)解析:设 f(x)=ax(a0,且 a1),由题意,知 a-2=,解得 a=2,所以 f(x)=2x,所以 f(4)f(2)=2422=64.探索点二 指数函数的解析式及其应用【例 2】(1)如果指数函数 y=f(x)的图象经过点(-2,),那么 f(4)f(2)等于.64(2)某市现在人口总数为 100 万人,如果年平均增长率为1.2%,试解答下列问题.试写出该市人口总数 y(单位:万人)与时间 x(单位:年)之间的函数解析式;计算 10
5、 年以后该市人口总数(精确到 1 万人).解:1 年后该市人口总数为100+1001.2%=100(1+1.2%)(万人),2 年后该市人口总数为100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2(万人),3 年后该市人口总数为100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3(万人),x 年后该市人口总数为 100(1+1.2%)x(万人).故所求函数解析式为 y=100(1+1.2%)x.10 年后该市人口总数为 100(1+1.2%)10=1001.012101001.127=112.7(万人)113(万人).所以 10 年
6、后该市人口总数约为 113 万人.方法规律利用指数函数的解析式解决问题的关注点(1)正确求出函数的解析式;(2)确定所求问题是求函数值,还是求自变量;(3)准确计算.【跟踪训练】3.变式练本例(1)中若指数函数 y=f(x)的图象经过点(3,27),则 f(4)f(2)=.解析:设 f(x)=ax(a0,且 a1),由题意,得 a3=27,解得 a=3,即 f(x)=3x,所以 f(4)=34=81,f(2)=32=9,f(4)f(2)=729.729 4.同类练某工厂一种产品的年销售量为 a,由于其他新产品的出现,估计该产品的市场需求量每年下降 15%,则 x年后年销售量 y 和 x 的函数
7、解析式为.解析:1 年后销售量为 a-a15%=a(1-15%);2 年后销售量为a(1-15%)-a(1-15%)15%=a(1-15%)2;3 年后销售量为a(1-15%)2-a(1-15%)215%=a(1-15%)3;x 年后销售量为 y=a(1-15%)x=a0.85x(xN*).y=a0.85x(xN*)5.拔高练春天到了,池塘里的荷叶生长开来.已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全覆盖池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时,荷叶已生长了()A.10 天B.15 天C.19 天D.20 天【解析】选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆
8、盖水面的面积为y=a2x(xN*),根据题意,令2(a2x)=a220,解得x=19.C 探索点三求形如 y=af(x)的函数的定义域【例 3】求下列函数的定义域.(1)y=32-x;(2)y=;(3)y=();(4)y=().解:(1)函数 y=2-x 的定义域为 R,从而函数 y=32-x的定义域为 R.(2)由 x-10,得 x1,则函数 y=的定义域为x|xR,且 x1.(3)由 x-10,得 x1,则函数 y=()的定义域为1,+).(4)函数 y=x2-2x-3 的定义域为 R,从而函数 y=()的定义域为 R.方法规律形如 y=af(x)的函数定义域的求法 函数 y=af(x)的
9、定义域就是函数 y=f(x)的定义域,因此只需求 y=f(x)的定义域即可.【跟踪训练】6.求下列函数的定义域.(1)y=()5x;(2)y=0.;(3)y=1.解:(1)函数 y=5x 的定义域为 R,从而函数 y=()5x的定义域为 R.(2)由题意,得 x0,所以函数 y=0.的定义域为(-,0)(0,+).(3)由题意,得 2x+10,解得 x-,则函数 y=1的定义域为-,+).指数函数 的概念 指数函数的定义 指数型函数模型 指数型函数模型公式：原有量为N，每次的增长（衰减）率为p，经过x次增长（衰减），该量增长到y，则 y=N(1p）x（x N）指数函数的底数大于0且不等于1 指
10、数型函数的实际应用中，忽视自变量的取值范围 数学抽象：通过具体实例引入指数函数的定义，培养数学抽象的核心素养 数学建模：通过指数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养 1.下列各函数中，是指数函数的是 A.y(4)x B.y4x C.y3x1 D.y 解析 A中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x1，不是指数函数.x1()32.若函数y(m2m1)mx是指数函数，则m等于()A.1或2 B.1 C.2 D.1【解析】选 C.依题意，有m2m11，m0且m1，解得m2(舍m1).3.若 函 数 f(x)(4 3a)x 是 指 数 函 数，则 实 数 的 取 值 范 围 是_.解析 由题意可得43a0，43a1，(，1)1，43解得 a43且 a1.4.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减 率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过 x年后湖水量y与x的函数关系为()A.y B.yC.yD.y(10.150 x)m 500.9x501 0.1xm500.9xm解析 设每年的衰减率为q%，则(1q%)500.9，所以1q%，所以ym(1q%)x.500.9x500.9xm 成功和失败本是同一片旷野，它是会令你溺水的深潭，也是能为你解渴的甘泉。