1、6.2等差数列必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的都等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(nN*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列an的通项公式:an=,可推广为an=am+(n-m)d.(4)等差数列的前n项和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是
2、关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,S10=S20,则()A.d0B.a160C.SnS15D.当且仅当n32时,Sn0,d0时,满足am0,am+10的项数m使得Sn取得最大值为Sm;当a10时,满足am0,am+10的项数m使得Sn取得最小值为Sm.对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列an的前n项和为Sn,S6S8,则()A.在数列an中,a1最大B.在数列an中,a3或a4最大C.S3=S10D.当n8时,an0,所以a150,a160,所以d0,SnS15,故A,B,C正确;S31=31(a1+a31)2=31a160,故D错误.故选ABC.4.4设等差数列an的公
3、差为d.a10,a2=3a1,a1+d=3a1,即d=2a1.S10S5=10a1+1092d5a1+542d=100a125a1=4.5.0-10在等差数列an中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列an的性质得当n5时,an0,当n6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.关键能力学案突破例1(1)A(2)C(1)由题意可知,S4=4a1+432d=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.(2)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1
4、=Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1.又Sm=m(a1+am)2=0,m(a1+2)=0.m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,m=5.(方法2)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1.由am=a1+(m-1)d=2,Sm=a1m+12m(m-1)d=0,得a1+m-1=2,a1m+12m(m-1)=0,解得a1=-2,m=5.(方法3)数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列Snn也为等差数列.Sm-1m-1+Sm+1m+1=2Smm,即-2m
5、-1+3m+1=0,解得m=5.经检验是原方程的解.故选C.对点训练1(1)B(2)16(1)设等差数列an的公差为d,依题意得S11=11a1+11(11-1)2d=22,a4=a1+3d=-12,解得a1=-33,d=7,am=a1+(m-1)d=7m-40=30,m=10.故选B.(2)an为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,(a1+)(a1+4d)+a1+7d=0,9a1+982d=27,整理得a1+4d=3,即a1=3-4d,把代入解得d=2,a1=-5.S8=8a1+28d=16.例2(1)证明当n2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn
6、-Sn-1=-2SnSn-1,因为Sn0,所以1Sn-1Sn-1=2.又因为1S1=1a1=2,故1Sn是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn=2n,所以Sn=12n.当n2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12,不适合上式.故an=12,n=1,-12n(n-1),n2.变式发散(1)解因为an=Sn-Sn-1(n2),an+2SnSn-1=0,所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n2).因为Sn0,所以1Sn-1Sn-1=2(n2).又1S1=1a1=2,所以1Sn是以2为首项,2为公差
7、的等差数列.所以1Sn=2+(n-1)2=2n,故Sn=12n.所以当n2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1),所以an+1=-12n(n+1).又an+1-an=-12n(n+1)-12n(n-1)=-12n1n+1-1n-1=1n(n-1)(n+1),所以当n2时,an+1-an的值不是常数,故数列an不是一个等差数列.(2)证明当n2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得SnSn-(Sn-Sn-1)+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,因为Sn0,所以1Sn-1Sn-1=12.又1S1=1a1=12,
8、故数列1Sn是首项为12,公差为12的等差数列.解由可得1Sn=n2,所以Sn=2n,当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n(n-1).当n=1时,a1=2不适合上式,故an=2,n=1,-2n(n-1),n2.对点训练2解(1)设an的公比为q.由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.例3(1)B
9、(2)BC(1)由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,a4=13,a6=9,a4+a6=22,数列an前9项的和S9=9(a1+a9)2=9(a4+a6)2=9222=99.(2)由题意可得,因为数列an是等差数列,所以设数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,所以ana2n=a1+(n-1)da1+(2n-1)d=a1-d+nda1-d+2nd.因为ana2n是一个与n无关的常数,所以a1-d=0或d=0,所以ana2n可能是12或1.故选BC.对点训练3A在等差数列an
10、中,a2+a8=8,2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.例4(1)B(2)8 076(1)由an是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),所以S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.(2)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列.设其公差为d,则S20142014-S20082008=6d=6,d=1.故S20192019=S11+2018d=-2014+2018=4,S2019=42019=8076.对点训练4-n2+10n等差数列an的前n项和为Sn,Sn
11、n=a1+n-12d为等差数列,公差为d2,首项为a1.a1=9,S99-S55=-4,-4=4d2,解得d=-2.则Sn=9n-(n-1)n22=-n2+10n.例5解(1)设等差数列an的公差为d,由an=a1+(n-1)d及a3=-9,a10=5,得a1+2d=-9,a1+9d=5,解得a1=-13,d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-15.(2)由(1)可得Sn=n(a1+an)2=n2-14n=(n-7)2-49,故当n=7时,Sn取得最小值.对点训练5(1)AD(2)A(1)由于S6S8,所以S7-S6=a70,S8-S7=a80,故C错误.(2)a1=29,S10=S20,10a1+1092d=20a1+20192d,解得d=-2,Sn=29n+n(n-1)2(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.当n=15时,Sn取得最大值.