1、第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?提示：900 体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？提示：角的范围需要扩展经过1小时，秒针、分针各转了多少度？提示：21 600，360.在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60所形成的角，与按顺时针方向旋转60所形成的角是否相等？提示：不相等 60 60 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念.2.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
2、并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.(重点)3.掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角(难点）1.了解任意角的概念，能区分各类角。（数学抽象）2.掌握象限角，并会用集合表示。（直观想象）3.理解终边相同的角的含义及表示，会解决与终边 相同角的角的有关简单运算。（数学运算）体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂思考2：想想用什么办法才能推广到任意角?提示：关键是用运动的观点来看待角的变化.提示：将角的概念及范围推广.思考1：上述这些例子有的角不仅不在0360范围内，而且有方向,如何解决这一问题呢?微课1 任意角的概念 平面内一条
3、射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.1.角的概念的推广 O 始边 终边顶点O AB终边顶点O 终边顶点O 终边顶点2.角的构成要素始边 终边 顶点 ABO旋转方向 这样，我们就把角的概念推广到了任意角.正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角任意角规定：喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要 10 分钟，则 10 分钟时间，钟表的分针走过的角度是()A30B30C60D60D【即时训练】oyx思考：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个
4、任意角，角的终边可能落在哪些位置？提示：x轴上、y轴上或者 x轴、y轴之间的区域内 微课2 象限角象限角的概念 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.-50 xyOxyO210-450 xyO405xyO-200 xyO第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角不属于任何象限的角提示：下列各角：-50，405，210,-200，-450分别是第几象限角？【即时训练】1.锐角与第一象限角是什么关系？2.钝角与第二象限角是什么关系？锐角一定是第一象限角，第一象限角不一定是锐角.钝角一定是第
5、二象限角，第二象限角不一定是钝角.提示：3.第二象限角一定比第一象限角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.【易错点拨】设 A|为锐角，B|为小于 90的角，C|为第一象限的角，D|为小于 90的正角，则下列等式中成立的是()AABBBCCACDAD【解析】锐角满足 090；而 B 中90，可以为负角；C 中满足 k360k36090，kZ；D 中满足 090，故 AD.D【即时训练】思考1：-32，328，-392是第几象限角？这些角有什么内在联系？32-392xyo 328 提示：-32，328，-392都是第四象限的角，它们的终边相同.微课3 终边相同的角思考2：所有与
6、-32角终边相同的角，连同-32角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ooS-32k 360,kZ 提示：思考3：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？提示：S=|=k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍 下列各角中，与角 330的终边相同的角是()A510B150C150D390D【规律方法】与330相差360的整数倍。【即时训练】例1.在0360范围内，找出与-95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角.关键是通过加
7、减360的整数倍，在0360范围内找到终边相同的角.【解析】-95012=12948-3360,在0360范围内,与-95012角终边相同的角是12948,它是第二限角.1.在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：1110 -1234 665-54048 【解析】1 110=30+3360与30的角终边相同，是第一象限角-1 234=206+(-4)360与206的角终边相同，是第三象限角 665=305+360与305的角终边相同，是第四象限角-54048=17912+(-2)360与17912的角终边相同，是第二象限角【变式练习】2.如果，终边相同，则-的终边
8、落在（）A.X轴的正半轴上 B.X轴的负半轴上 C.y轴的正半轴上 D.y轴的负半轴上 A 思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？提示：终边在x轴正半轴：=k360，kZ；终边在x轴负半轴：=180k360，kZ；终边在y轴正半轴：=90k360，kZ；终边在y轴负半轴：=270k360，kZ.例2.写出终边在y轴上的角的集合.【解析】在0360范围内，终边在y轴上的角有两个，即90，270角（如图）.因此，所有与90角终边相同的角构成集合S1=|=90+k360，kZ,而所有与270角终边相同的角构成集合S2=|=270+k360，kZ,于是，终边在y轴上的
9、角的集合S=S1S2=|=90+2k180，kZ|=90+180+2k180，kZ=|=90+2k180，kZ|=90+（2k+1）180，kZ=|=90+n180，nZ.已知角是第三象限角,则角-的终边 在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B【变式练习】例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360720的元素 写出来.解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是45,在0360 范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45,225.因此，终边在直线y=x上的角的集合S=|=45+k360,kZ|=225+k360,kZ=|=
10、45+k180,kZS中适合不等式-360720的元素是45-2180=-315,45-1180=-135,45+0180=45,45+1180=225,45+2180=405,45+3180=585.思考是如何变换的？已知角的终边在如图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么_.xyO -【变式练习】回顾本节课的收获 角的概念的推广任意角的概念象限角终边相同的角的表示 任意角 角的概念、表示及分类 象限角 终边相同的角 象限角的两种判断方法：（1）化成终边相同角的表示形式；（2）在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置求在给定范围内终边相同角的方法：写出终边相同的角的表示，根据给定范围建立关于
11、k的不等式，解出k,根据k确定角 终边相同的角中必须保证k是整数 数学抽象：通过具体实例抽象出象限角、终边相同角的概念，培养数学抽象的核心素养 1.若是第四象限角，则 180是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【解析】选 C.特殊值法给 赋一特殊值60，则 180240，故 180 在第三象限C 2.在下列说法中：时钟经过两个小时，时针转过的角是 60；钝角一定大于锐角；射线 OA 绕端点 O 按逆时针旋转一周所成的角是 0；小于 90的角都是锐角其中错误说法的序号为_(错误说法的序号都写上)3如果为小于 360的正角，的 4 倍角的终边与的终边重合，求的值【解析】依题意 4k360，且 0360，k120.取 k1 或 k2，120或240.【解题关键】由的4倍角与的终边相同列出方程 把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则断事是书生的怪癖.培根
