1、4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2+cos2=.(2)商数关系:sincos=2+k,kZ.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k+(kZ)+-2-2+正弦sin 余弦cos 正切tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)(sin cos )2=12sin cos ;(2)sin =tan cos 2+k,kZ;(3)sin2=sin2sin2+cos2=tan2tan2+1;(4)cos2=cos2sin2+cos2=1tan2+1
2、.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)对任意的角,有sin2+cos2=1.()(2)若R,则tan =sincos恒成立.()(3)sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角.()(4)若cos(n-)=13(nZ),则cos =13.()2.(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos-2=-255,32,则tan =()A.2B.32C.1D.123.(2020河北唐山模拟,理4)已知角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点A(2sin ,3)(sin 0),则cos =()A.12B.-12C.32D.-324.函数f(x)=15sinx+3
3、+cosx-6的最大值为()A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)若tan(-)=12,则sin2+1cos2-sin2=()A.-12B.-2C.12D.2(2)已知tan =2,则sin2+sin cos -2cos2等于()A.-43B.54C.-34D.45解题心得1.利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用tan=sincosk+2,kZ可以实现角的弦切互化.2.“1”的灵活代换:1=cos2+sin2=(sin+cos)2-2sincos=tan4.3.关于sin,cos的齐次式,往往化为关于tan的式子.对
4、点训练1(1)已知是第四象限角,sin =-1213,则tan 等于()A.-513B.513C.-125D.125(2)若3sin +cos =0,则1cos2+2sincos的值为()A.103B.53C.23D.-2考点利用sincos与sincos关系求值【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin -cos =2,(0,),则tan =()A.-1B.-22C.22D.1(2)已知为第二象限角,sin ,cos 是关于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(mR)的两根,则sin -cos =()A.1-32B.1+32C.3D.-3解题心得1.通过平方,对称式sin+cos
5、,sin-cos,sincos之间可建立联系,若令sin+cos=t,则sincos=t2-12,sin-cos=2-t2(注意根据的范围选取正、负号).2.利用上述关系,对于sin+cos,sin-cos,sincos这三个式子,可以知一求二.对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知-2,0,sin(-2)=-12,则sin -cos =()A.52B.-52C.62D.-62考点诱导公式的应用【例3】(1)已知sin(-)=log814,且-2,0,则tan(2-)的值为()A.-255B.255C.255D.52(2)已知是第四象限角,且sin+4=35,则tan-4=.解题心得1
6、.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有3-与6+,3+与6-,4+与4-等,常见的互补关系有6-与56+,3+与23-,4+与34-等.对点训练3(1)已知A=sin(k+)sin+cos(k+)cos(kZ),则A的值构成的集合是()A.1,-1,2,-2B.-1,1C.2,-2D.1,-1,0
7、,2,-2(2)sin 600+tan 240的值等于.(3)已知sin712+=23,则cos-1112=.考点同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例4】(1)(2020河北邯郸联考)已知3sin3314+=-5cos514+,则tan514+=()A.-53B.-35C.35D.53(2)已知为锐角,且2tan(-)-3cos2+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,则sin =()A.355B.377C.31010D.13解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.对
8、点训练4(1)已知角tan =2,则sin2+sin(3-)cos(2+)-2cos2等于()A.-26B.26C.-23D.23(2)已知sin =255,则tan(+)+sin(52+)cos(52-)=.4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1.(1)1(2)tan 2.-sin -sin sin cos cos -cos cos -cos sin -sin tan -tan -tan 考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.Acos-2=sin=-255,又,32,cos=-55,tan=2.故选A.3.A由三角函数定义得tan=32sin,即sincos=32
9、sin,得3cos=2sin2=2(1-cos2),解得cos=12或cos=-2(舍去).故选A.4.A因为cosx-6=cos2-x+3=sinx+3,所以f(x)=15sinx+3+sinx+3=65sinx+3,故函数f(x)的最大值为65.故选A.关键能力学案突破例1(1)D(2)D(1)tan(-)=-tan(-)=tan=12,sin2+1cos2-sin2=2sin2+cos2cos2-sin2=2tan2+11-tan2=2(12)2+11-(12)2=2.(2)sin2+sincos-2cos2=sin2+sincos-2cos2sin2+cos2=tan2+tan-2ta
10、n2+1,又tan=2,故原式=4+2-24+1=45.对点训练1(1)C(2)A(1)因为是第四象限角,sin=-1213,所以cos=1-sin2=513,故tan=sincos=-125.(2)由题知,3sin+cos=0,且cos0,故tan=-13,1cos2+2sincos=cos2+sin2cos2+2sincos=1+tan21+2tan=1+(-13)21-23=103.例2(1)A(2)B(1)由sin-cos=2,得1-2sincos=2,所以2sincos=-1,又(0,),所以cos0,cos0,因为(sin-cos)2=1-2sincos=1-m=1+32,所以sin-cos=1+32=2+32=4+234=1+32.故选B.对点训练2D因为sin(-2)=-12,所以sin2=-12,即2sincos=-12.所以(sin-cos)2=1-2sincos=1+12=32.又因为-2,0,所以sin0,为第一或第二象限角,tan(+)+sin(52+)cos(52-)=tan+cossin=sincos+cossin=1sincos.当是第一象限角时,cos=1-sin2=55,原式=1sincos=52;当是第二象限角时,cos=-1-sin2=-55,原式=1sincos=-52.综合知,原式=52或-52.