1、2两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数Q在我国和西方的民间故事中，有许多关于彩虹的传说，给其披上了神秘的面纱，实际上通过物理学中对光的学习，我们知道彩虹是由于光的折射而形成的而在空气中各种不同光波的叠加让我们感觉到光是没有色彩的实际上光波的叠加就像是许多正弦、余弦函数图像的叠加，物理中的干涉实验实际上就是将正弦、余弦波相加减后形成了新的波形，从而形成明暗相间的条纹而要深入研究这些问题，不仅要用到两角和与差的余弦公式，还要用到两角和与差的正弦公式本节我们就来研究一下这些公式X1cos ()_cos cos sin sin _；2cos ()_cos cos
2、sin sin _；3sin ()_sin cos cos sin _；4sin ()_sin cos cos sin _.知识点拨1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点(1)公式中的、均为任意角(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”2使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin ()cos cos ()sin 时，不要将sin ()和cos ()展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin ()cos cos
3、 ()sin sin ()sin .这也体现了数学中的整体原则Y1cos (3045)等于(D)ABCD解析cos (3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.2cos 45cos 15sin 45sin 15(B)ABCD解析原式cos (4515)cos 30.3sin (3045)_.解析sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.4cos 55cos 5sin 55sin 5_.解析原式cos (555)cos 60.H命题方向1化简求值典例1求值：(1)cos (x20)cos (x40)cos (x70)sin (x40)；(2)sin
4、100sin (160)cos 200cos (280)；(3)sin 2sin cos .思路分析(1)(3)中除含已知角外，还含有x，应找角之间关系，构造应用和、差角三角函数的条件；(2)中不含特殊角，且角有正有负，有大有小，应利用公式将角负化正，大化小解析(1)原式cos (x20)cos (x40)sin 90(x70)sin (x40)cos (x20)cos (x40)sin (x20)sin (x40)cos (x20)(x40)cos 60.(2)原式sin 80(sin 20)(cos 20)cos 80cos (8020)cos 60.(3)原式sin xcos cos x
5、sin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xcos xsin x0.规律总结解这类题目的关键是将非特殊角转化为特殊角，充分地拆角、凑角转化为角的正弦、余弦、正切公式，同时灵活运用两角和与差的正弦、余弦及正切公式跟踪练习1求下列各式的值(1)cos 15sin 15；(2)；(3)sin 347cos 148sin 77cos 58.解析(1)原式cos 60cos 15sin 60sin 15cos (6015)cos 45.(2)原式.(3)原式sin (13360)cos (18032)sin 77cos 58sin (13)(c
6、os 32)sin 77cos 58sin 13(cos 32)sin 77cos (9032)cos 77cos 32sin 77sin 32cos (7732)cos 45.命题方向2给值(式)求值典例2已知sin ，sin ，且180270，90180，则cos ()_.(2)已知sin ()，且，求cos 的值思路分析(1)求出cos ，cos ，利用公式进行求解；(2)利用cos cos 进行凑角解析(1)180270，cos ；又90180，cos ；cos ()cos cos sin sin ()()()(2)，cos ()cos cos ()cos ()cos sin ()si
7、n .规律总结给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换(2)常见角的变换()；2()()；2()()跟踪练习2已知cos ，cos ()，且、(0，)，求cos 的值思路分析观察题意，不难得到()的关系式，然后利用公式C()来变形求值解析、(0，)，(0，)又cos ，cos ()，sin ，sin ().又()，cos cos ()cos ()cos sin ()sin ().命题方向3知值求角典例3已知锐角，满足sin ，cos ，求的值思路分析，为锐角，
8、由sin ，cos 可求cos ，sin 的值，要求的值，可以先求出它的某一三角函数值，然后根据角的范围求出的值解析，为锐角，且sin ，cos ，cos ，sin ，cos ()cos cos sin sin .由0，0，得00，为锐角，.规律总结已知三角函数值求角的步骤：(1)根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值：为防止产生增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角跟踪练习3已知锐角，满足sin ，sin ()，求的值解析解法一：，均为锐角，由sin ，得cos .又sin sin ()，故必为钝角，cos ()，cos cos ()co
9、s ()cos sin ()sin .60.解法二：sin sin ()sin ()cos cos ()sin ()，为锐角，60.X辅助角公式及其应用典例4求ysin cos 的最大值和周期思路分析由函数的解析式化为yAsin ()的形式，然后求其最大值和周期解析ysin cos sin cos 2cos sin 2cos cos 2sin sin 2(cos 2sin 2)sin ，当22k，即k(kZ)时，ymax，T，函数的最大值是，周期为.规律总结(1)asin xbcos x(sin xcos x)，令cos ，sin ，则有asin xbcos x(cos sin xsin co
10、s x)sin (x)，其中tan .(2)涉及asin xbcos x的最值、图像等性质问题时，常利用两角和与差的三角函数公式先把该式转化成f(x)sin (x)的形式；再利用研究yAsin (x)的相关方法去处理f(x)中的有关性质跟踪练习4(1)函数f(x)sin xcos x的最小正周期是_2_.(2)函数f(x)sin 3cos x的最小值为_4_.解析(1)f(x)sin (x)，最小正周期是2.(2)f(x)sin 3cos xcos 2x3cos x2cos 2x3cos x1，令tcos x，则t1,1，f(x)2t23t1.又函数f(x)图像的对称轴t1,1，且开口向下，当
11、t1时，f(x)有最小值4.Y求三角函数值时忽略角的范围典例5已知，均为锐角，且sin ，cos ，则_.错解为锐角，sin ，cos .又为锐角，cos ，sin .cos ()cos cos sin sin .错因分析错解的原因是忽略了角的范围，误认为是锐角正解为锐角，sin ，cos .又为锐角，cos ，sin .cos ()cos cos sin sin .又，(0，)，sin sin ，0，sin ，0，0cos ()cos cos sin sin .K1计算sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于(A)ABCD解析sin 43cos 13cos 43sin 13
12、sin (4313)sin 30.2若cos ，是第三象限的角，则sin ()等于(A)ABCD解析本题考查两角和正弦公式的简单应用sin ()(sin cos )().3cos (35)cos (25)sin (35)sin (25)等于(A)ABCD解析原式cos (3525)cos (60).4(2017北京理)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则cos ()_.解析由题意知2k(kZ)，2k(kZ)，sin sin ，cos cos .又sin ，cos ()cos cos sin sin cos 2sin 22sin 2121.5若cos ()，cos ()，则tan tan _.解析cos ()cos cos sin sin ，cos ()cos cos sin sin ，3得：2cos cos 4sin sin ，即tan tan .