1、5 离散型随机变量的均值与方差第二课时 离散型随机变量的方差01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、离散型随机变量的方差的含义设 X 是一个离散型随机变量，用_来衡量 X 与 EX 的平均偏离程度，E(XEX)2 是(XEX)2 的期望，称_为随机变量 X 的方差，记为_DX_.二、方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越大，随机变量的取值越_；方差越小，随机变量的取值就越集中在其_周围E(XEX)2E(XEX)2DX(x1EX)2p1(x2EX)2p2(xnEX)2pn分散均值三、方差的性质当 a，b 均为常数时，随机变量函数 ab 的方差 D
2、D(ab)_.特别地：(1)当 a0 时，D(b)_，即常数的方差等于 0；(2)当 a1 时，D(b)_；(3)当 b0 时，D(a)_.a2D0Da2D双基自测1设随机变量 X 的方差 DX1，则 D(2X1)的值为()A2 B3C4 D5C解析：D(2x1)4DX414.2同时抛掷两枚均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则 D等于()A.158B.154C.52D5解析：B(10，14)，D1014(114)158.A3已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk)13，k3,6,9，则 DX_.解析：EX3136139136，DX(36)213(66)213(96)2136
3、.6探究一 离散型随机变量的方差 例 1 已知 X 的分布列为：X010205060P1325115215115(1)求 DX；(2)设 Y2XEX，求 DY.解析(1)EX013102520 11550 21560 11516，DX(016)213(1016)225(2016)2 115(5016)2 215(6016)2 115 384.(2)解法一 Y 的分布列为：Y1642484104P1325115215115EY161342524 11584 215104 11516.DY(1616)213(416)225(2416)2 115(8416)2 215(10416)2 115 1 5
4、36.解法二 DYD(2XEX)4DX43841 536.1已知随机变量 X 的分布列如下表：X101P121316(1)求 EX，DX，DX；(2)设 Y2X3，求 EY，DY.解析：(1)EX(1)1201311613；DX(x1EX)2p1(x2EX)2p2(x3EX)2p359；DX 53.(2)EY2EX373；DY4DX209.探究二 二项分布的方差、标准差 例 2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了 n 株沙柳各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株树，数学期望 E 为 3，方差为32.(1)求 n 和 p 的值，并
5、写出 的分布列；(2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解析 由题意知，B(n，p)，P(k)Cknpk(1p)nk，k0,1，n.(1)由 Enp3，Dnp(1p)32，得 1p12，从而 n6，p12.的分布列为：0123456P 164664156420641564664164(2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A)P(3)，得 P(A)161520642132或 P(A)1P(3)11561642132.所以需要补种沙柳的概率为2132.方差计算运算量较大，但若能服从二项分布，则计算方差可按简便的方差计算公式，因而需要先判别是不是二项分布2
6、某运动员投篮一次的命中率为 0.6，每次投篮投中与否相互独立，求：(1)投篮一次时命中次数 X 的均值与方差；(2)连续 5 次投篮时，命中次数 Y 的均值与方差解析：(1)投篮一次命中次数 X 的分布列为：X01P0.40.6则 EX00.410.60.6；DX(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意，连续 5 次投篮，相当于进行 5 次独立重复试验，命中的次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6)由二项分布的均值与方差的公式，得 EY50.63，DY50.60.41.2.探究三 方差的实际应用 例 3 有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：
7、X 甲110120125130135P0.10.20.40.10.2 X 乙100115125130145P0.10.20.40.10.2其中 X 甲，X 乙分别表示甲、乙两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的平均抗拉强度不低于 120.试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？解析 EX 甲1100.11200.21250.41300.11350.2125，EX 乙1000.11150.21250.41300.11450.2125.又 DX 甲(110125)20.1(120125)20.2(125125)20.4(130125)20.1(135125)20.250，DX乙(100125)20.1
8、(115125)20.2(125125)20.4(130125)20.1(145125)20.2165.由 EX 甲EX 乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于 120.但由于 DX 甲DX 乙，即乙种钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大，说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值较集中3甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为 X、Y，X 和 Y 的分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比
9、较X012P610110310 Y012P510310210解析：工人甲生产出次品数 X 的期望和方差分别为：EX0 6101 1102 3100.7，DX(00.7)2 610(10.7)2 110(20.7)2 3100.81.工人乙生产出次品数 Y 的期望和方差分别为：EY0 5101 3102 2100.7，DY(00.7)2 510(10.7)2 310(20.7)2 2100.61.由 EXEY 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 DXDY，可见乙的技术水平比较稳定方差在解决实际问题中的应用 典例(本题满分 12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，
10、然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由解(1)当 n16
11、时，y16(105)80.1 分当 n15 时，y5n5(16n)10n80.3 分得：y10n80n1580n16(nN)4 分(2)X 可取 60,70,80.5 分P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.7 分X 的分布列为X607080P0.10.20.78 分EX600.1700.2800.776，DX1620.1620.2420.744.9 分花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54 Y 的数学期望为 EY550.1650.2750
12、.16850.5476.4.Y 的方差为 DY(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.11 分由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然 EXEY，但两者相差不大故花店一天应购进 16 枝玫瑰花12 分规范与警示 1.在处，准确把握了题设信息，正确地写出了利润 y 与当天需求量 n的函数关系，是解决本题的关键点若对变量 X 理解不到位，导致处错误，致使分布列及均值、方差均出错，是解决本题的易失分点，在处准确计算，又是解决本题的一个关键点2防范措施：(1)建模信息的提取熟读题设信
13、息，把实际问题数学模型化是解决该类问题的关键如本例的函数模型的建立用到了分段函数的建模思想(2)理解期望、方差的实际意义期望、方差是随机变量的数字特征，能够反映数据的整体情况，理解期望、方差的实际意义是求解此类问题的关键，如本例(2).甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 X 和 Y，且 X，Y 的分布列为X123Pa0.10.6 Y123P0.3b0.3求：(1)a，b 的值；(2)计算 X，Y 的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况解析：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知，a0.10.61，a0.3.同理 0.3b0.31，b0.4.(2)EX10.320.130.62.3，EY10.320.430.32，DX(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81，DY(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6.由于 EXEY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但 DXDY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势03 课后 巩固提升
